Контрольная работа по мат. анализу 31

Варіант 13

1. 

2. 

3. 

4.   

5.   

6.   

7.   

8. 

Разложим на простейшие дроби функцию

9.   

10.   

1.  Обчислити інтеграли:

А)

В)

Тогда

2. Оцінити визначений інтеграл

3.  Знайти середнє значення функції на заданому відрізку

,

Решение

Как известно, среднее значение функции f(x), заданной на отрезке [a, b] равно: среднее значение функции. В нашем случае:

4.  Обчислити площі фігур обмежених лініями, які задані рівняннями. Зробити рисунок.

А) ,

Решение

Сделаем чертеж области D на плоскости OXY

- гипербола

- парабола, ветви вниз, центр в т. (0,2)

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

По формуле

Тогда

Ответ: (кв. ед.).

Б) ,

Решение

Сделаем чертеж области D на плоскости OXY

Площадь фигуры, заданной параметрически вычисляется по формуле . Тогда, в нашем случае:

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.).

В)

Решение

Сделаем чертеж области D на плоскости OXY

Полярному углу будем придавать значения от до и вычислять соответствующие значения полярного радиуса .

Построим заданную кривую. Полюс полярной системы координат помещаем в центр декартовой прямоугольной системы, а полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс. График будет состоять из трёх одинаковых частей. Поэтому при построении рассмотрим только один лепесток

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами вычисляется по формуле .

Так как полученная фигура симметричная, то можно вычислить треть ее площади при

(кв. ед.)

Тогда вся площадь будет равна (кв. ед.).

Ответ: (кв. ед.).

5. Обчислити довжину дуг кривих, що задані рівняннями.

А) ,

Решение

Длину дуги кривой в декартовой системе координат, заключенной между точками , можно вычислить по формуле: .

Найдем выражение, стоящее под интегралом:

Тогда длина дуги равна

Ответ:

Б) ,

Решение

Заданная кривая представляет собой евольвенту (развёртку) окружности.

Находим производные . Длина дуги находится по формуле:

В нашем случае:

Ответ:

В) ,

Решение

Используем формулу

Тогда получим

Ответ:

6. Обчислити об’эм тіл обертання. Зробити рисунок.

, , ,

Решение

Изобразим данную плоскую фигуру:

Используем формулу ,

Тогда получим

Ответ: (куб. ед.)

7. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність

А)

В)

Поскольку в точке х=5, принадлежащей промежутку интегрирования, функция терпит разрыв, то интеграл относится к несобственным интегралам второго рода. Вычислим его

Яндекс.Метрика
© 2011-2022 Контрольные работы по математике и другим предметам!