logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Контрольная работа по мат. анализу 31

Варіант 13

1. 

2. 

3. 

4.   

5.   

6.   

7.   

8. 

Разложим на простейшие дроби функцию

9.   

10.   

1.  Обчислити інтеграли:

А)

В)

Тогда

2. Оцінити визначений інтеграл

3.  Знайти середнє значення функції на заданому відрізку

,

Решение

Как известно, среднее значение функции f(x), заданной на отрезке [a, b] равно: среднее значение функции. В нашем случае:

4.  Обчислити площі фігур обмежених лініями, які задані рівняннями. Зробити рисунок.

А) ,

Решение

Сделаем чертеж области D на плоскости OXY

- гипербола

- парабола, ветви вниз, центр в т. (0,2)

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

По формуле

Тогда

Ответ: (кв. ед.).

Б) ,

Решение

Сделаем чертеж области D на плоскости OXY

Площадь фигуры, заданной параметрически вычисляется по формуле . Тогда, в нашем случае:

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.).

В)

Решение

Сделаем чертеж области D на плоскости OXY

Полярному углу будем придавать значения от до и вычислять соответствующие значения полярного радиуса .

Построим заданную кривую. Полюс полярной системы координат помещаем в центр декартовой прямоугольной системы, а полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс. График будет состоять из трёх одинаковых частей. Поэтому при построении рассмотрим только один лепесток

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами вычисляется по формуле .

Так как полученная фигура симметричная, то можно вычислить треть ее площади при

(кв. ед.)

Тогда вся площадь будет равна (кв. ед.).

Ответ: (кв. ед.).

5. Обчислити довжину дуг кривих, що задані рівняннями.

А) ,

Решение

Длину дуги кривой в декартовой системе координат, заключенной между точками , можно вычислить по формуле: .

Найдем выражение, стоящее под интегралом:

Тогда длина дуги равна

Ответ:

Б) ,

Решение

Заданная кривая представляет собой евольвенту (развёртку) окружности.

Находим производные . Длина дуги находится по формуле:

В нашем случае:

Ответ:

В) ,

Решение

Используем формулу

Тогда получим

Ответ:

6. Обчислити об’эм тіл обертання. Зробити рисунок.

, , ,

Решение

Изобразим данную плоскую фигуру:

Используем формулу ,

Тогда получим

Ответ: (куб. ед.)

7. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність

А)

В)

Поскольку в точке х=5, принадлежащей промежутку интегрирования, функция терпит разрыв, то интеграл относится к несобственным интегралам второго рода. Вычислим его

 
Яндекс.Метрика
Наверх