logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Контрольная работа по мат. анализу 24

Задание 1.

Найти неопределенные интегралы.

Решение:

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Разложим функция под знаком интеграла на элементарные дроби:

Откуда:

Е)

Задание 2.

Вычислить определенные интегралы.

Решение:

Задание 3.

Вычислить определённые интегралы

Решение:

Разложим выражение под знаком интеграла на множители:

Т. о.

Задание 4.

Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

Решение:

Задание 5.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольных координатах.

Решение:

Длина дуги плоской кривой вычисляется по формуле::

Найдем производную функции

Откуда получаем длину дуги кривой:

Задание 6.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле:

Найдем производную функции

Откуда получаем длину дуги кривой:

Задание 7.

Исследовать сходимость несобственных интегралов и вычислить.

Решение:

Верхний предел интегрирования равен «бесконечности». Следовательно, необходимо перейти к пределам:

Т. о. несобственный интеграл расходится.

Задание 8.

Найти области определения данных функций. Сделать чертежи.

Решение:

Функция определена при всех переменных х и у, в которых выражения под знаком корня не меньше 0. Т. о.

Т. о. получили множество точек, находящихся внутри а) окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1, включая точки, лежащие на окружности и б) между ветвями гиперболы с центров в точке (0;0).

Выполним чертеж:

Пересечение данных фигур дает нам окружность:

Задание 9.

Найти все смешанные производные 2-го порядка для функций.

Найдем частные производные первого порядка:

Найдем смешанные производные второго порядка:

Задание 10.

Исследовать на экстремум следующие функции:

5. Z= X2+ Xy+ Y2 -2X-Y

Решение:

Находим стационарные точки, т. е. точки в которых выполняется условие:

Находим частные производные:

Откуда находим:

Т. о. получили единственную стационарную точку.

Вычислим значение выражения в полученной точке М, где

Находим частные производные второго порядка:

Вычисляем их значения в точке М:

Откуда получаем:

Так найденное значение больше нуля, то в указанной точке имеет место экстремум. Тип экстремума определяем по знаку величины А. Т. к. А>0, то в точке М функция достигает минимума.

Задание 11.

Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках:

5. X2 + Y2 + Z2 = 9, X2 - Y2 = 3 в точке (2, 1, 2)

Решение:

Уравнение касательной плоскости к линии заданной уравнением имеет вид:

Уравнение нормали определяется формулой:

Находим частные производные для функции:

F(X,Y,Z) = x2 + Y2 + Z2 – 9

F(X,Y,Z) = x2 - Y2 – 3

И их значения в точке М:

F(X,Y,Z) = x2 + Y2 + Z2 – 9

F(X,Y,Z) = x2 - Y2 – 3

Следовательно, искомые уравнения имеют вид:

F(X,Y,Z) = x2 + Y2 + Z2 – 9

F(X,Y,Z) = x2 - Y2 – 3

 
Яндекс.Метрика
Наверх