Контрольная работа по мат. анализу 23 |
Вариант 2 Задания для контрольной работы №1 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление 1-10. Найти пределы функций. 2. 1) 2) 1) 2) Использовали 4) 11-20. Найти производные заданных функций. 12. А) В) А) Б) В) Г) 21-30. Вычислить приближенное значение 22. Решение Имеем В нашем случае Отсюда: Поэтому 31-40. Исследовать функцию 32. Решение Исследуем функцию, заданную формулой: Область определения: Найдём первую производную:
Первая производная: Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней. Критические точки: нет Найдём вторую производную: Вторая производная это производная от первой производной.
= = Вторая производная: Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. - нет решений. Возможные точки перегиба: нет Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
Точки пересечения с осью : Пусть, Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль , . Вертикальные асимптоты: Горизонтальные асимптоты: нет. Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. Наклонные асимптоты: . Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю. Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). Тестовые интервалы: Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительные экстремумы: нет Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. 41-50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 42. а) Решение А) Проверка: Б) Проверка: 51-60. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл 52. Решение 61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 62. Решение Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти: Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:
По формуле Ответ: Задания для контрольной работы № 21. Аналитическая геометрия 1-10. Даны вершины 2. А(1;1), В (7;4), С (4;5) Решение Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: Угол между прямыми Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: , где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 Найдем угол между векторами AB(6;3) и AC(3;4) , γ = arccos(0.89) = 26.570 Уравнение медианы треугольника Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. , , M(4;5/2) Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой: или или x - 4 = 0 или x = 4 Уравнение высоты через вершину C Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: , , y = -2x + 13 или y +2x -13 = 0 Площадь треугольника Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой: В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна. Принимая A за первую вершину, находим: По формуле получаем: 11-20. Решить систему линейных уравнений матричным способом Решение Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: , Вектор B: BT=(8,5,3) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=3•(5•4-3•2)-1•(4•4-3•2)+2•(4•2-5•2)=28 Итак, определитель 28 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: Тогда: Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B, , , XT=(2,1,-1) X=56 / 28=2 У=28 / 28=1 Z=-28 / 28=-1 Ответ: x=2, у=1 , z=-1 Вариант 7 Задания для контрольной работы №1 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление 1-10. Найти пределы функций. 7. 1) 2) Решение 1) 2) Использовали 4) 11-20. Найти производные заданных функций. 17. А) В) Решение А) Б) Г) 21-30. Вычислить приближенное значение 27. Решение Имеем В нашем случае Отсюда: Поэтому 31-40. Исследовать функцию 37. Решение Исследуем функцию, заданную формулой: Область определения: Найдём первую производную:
= Первая производная: Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Критические точки: Найдём вторую производную: Вторая производная это производная от первой производной.
= = Вторая производная: Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. - нет решений. Возможные точки перегиба: нет Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
Точки пересечения с осью : Точки пересечения с осью : Пусть, Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль , Вертикальные асимптоты: Горизонтальные асимптоты: нет. Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.
Наклонные асимптоты: . Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю. Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). Тестовые интервалы: Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительные экстремумы: Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. 41-50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 47. А) Решение А) Проверка: Б) 51-60. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл 57. Решение 61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 67. Решение Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти: Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:
По формуле
Задания для контрольной работы № 21. Аналитическая геометрия 1-10. Даны вершины 7. А (1;6), В (7;4), С (4;5) Решение Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: , где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 Найдем угол между векторами AB(6;-2) и AC(3;-1) , γ = arccos(1) = 00 Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. , , M(4;5) Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5), поэтому: Каноническое уравнение прямой: или или x - 4 = 0 или x = 4 Уравнение высоты через вершину C Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: , , y = 3x -7 или y -3x +7 = 0 Площадь треугольника Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой: В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна. Принимая A за первую вершину, находим: По формуле получаем: 11-20. Решить систему линейных уравнений матричным способом Решение Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: , Вектор B: BT=(6,9,10) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=1•(1•2-5•4)-4•(2•2-5•3)+3•(2•4-1•3)=41 Итак, определитель 41 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: Тогда: Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B , , XT=(1,1,1) X=41 / 41=1 Y=41 / 41=1 Z=41 / 41=1 Ответ: x=1, y=1, z=1
|