Контрольная работа по мат. анализу 23

Вариант 2

Задания для контрольной работы №1

1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление

1-10. Найти пределы функций.

2. 1) при A) , B) , C) ;

2) 3) ; 4)

Решение

1)

2) 3) ;

Использовали при

4)

11-20. Найти производные заданных функций.

12. А) ; Б)

В) Г) .

Решение

А)

Б)

В)

Г) .

21-30. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом.

22.

Решение

Имеем , то есть

В нашем случае ,

Отсюда:

Поэтому ,

31-40. Исследовать функцию и построить ее график.

32.

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Найдём первую производную:

=====

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

, ,

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Критические точки: нет

Найдём вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

==

=====

==

Вторая производная:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

- нет решений.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

, ,

;

Точки пересечения с осью :

Пусть, . Точки пересечения с осью :

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

, . Вертикальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты: нет.

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. ==

Наклонные асимптоты: .

Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы: нет

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

41-50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

42. а) ; Б) ;

Решение

А) ;

Проверка: верно

Б) ;

Проверка: верно

51-60. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

52.

Решение

61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

62.

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

,

По формуле . В нашем случае ,, , . Получим:

Ответ: (кв. ед)

Задания для контрольной работы № 2

1. Аналитическая геометрия

1-10. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС.

2. А(1;1), В (7;4), С (4;5)

Решение

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

Угол между прямыми

Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: , где a1a2 = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между векторами AB(6;3) и AC(3;4)

, γ = arccos(0.89) = 26.570

Уравнение медианы треугольника

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

, , M(4;5/2)

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5/2), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

или или x - 4 = 0 или x = 4

Уравнение высоты через вершину C

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

, , y = -2x + 13 или y +2x -13 = 0

Площадь треугольника

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

11-20. Решить систему линейных уравнений матричным способом

Решение

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: , Вектор B: BT=(8,5,3)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=3•(5•4-3•2)-1•(4•4-3•2)+2•(4•2-5•2)=28

Итак, определитель 28 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

Вычисляем алгебраические дополнения.

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:

Вычислим обратную матрицу:

Вектор результатов X X=A-1 • B,

, ,

XT=(2,1,-1)

X=56 / 28=2

У=28 / 28=1

Z=-28 / 28=-1

Ответ: x=2, у=1 , z=-1

Вариант 7

Задания для контрольной работы №1

1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление

1-10. Найти пределы функций.

7. 1) при A) , B) , C) ;

2) 3) ; 4)

Решение

1)

2) 3) ;

Использовали при

4)

11-20. Найти производные заданных функций.

17. А) ; Б)

В) Г) .

Решение

А) ;

Б) В)

Г) .

21-30. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом.

27.

Решение

Имеем , то есть

В нашем случае ,

Отсюда:

Поэтому ,

31-40. Исследовать функцию и построить ее график.

37.

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Найдём первую производную:

==

===

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

, ,

;

Критические точки:

Найдём вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

==

==

===

Вторая производная:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. - нет решений.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

, ,

;

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :

Пусть,

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

, Вертикальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты: нет.

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.

==

Наклонные асимптоты: .

Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

41-50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

47.  А) ; Б) ;

Решение

А) ;

Проверка: - верно

Б) Проверка: -верно

51-60. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

57.

Решение

61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

67.

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

,

По формуле . В нашем случае ,, , . Получим:

Ответ: (кв. ед)

Задания для контрольной работы № 2

1. Аналитическая геометрия

1-10. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС.

7. А (1;6), В (7;4), С (4;5)

Решение

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: , где a1a2 = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между векторами AB(6;-2) и AC(3;-1)

, γ = arccos(1) = 00

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

, , M(4;5)

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

или или x - 4 = 0 или x = 4

Уравнение высоты через вершину C

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

, , y = 3x -7 или y -3x +7 = 0

Площадь треугольника

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

11-20. Решить систему линейных уравнений матричным способом

Решение

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: , Вектор B: BT=(6,9,10)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=1•(1•2-5•4)-4•(2•2-5•3)+3•(2•4-1•3)=41

Итак, определитель 41 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

Вычисляем алгебраические дополнения.

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:

Вычислим обратную матрицу:

Вектор результатов X X=A-1 • B

, ,

XT=(1,1,1)

X=41 / 41=1

Y=41 / 41=1

Z=41 / 41=1

Ответ: x=1, y=1, z=1