Контрольная работа по мат. анализу 20 |
1. Исследовать сходимость числового ряда. 1.5. Воспользуемся признаком Даламбера:
Ответ: сходится 2. Найти интервал сходимости степенного ряда. 2.5. Найдём интервал сходимости ряда Тогда Ряд сходится на интервале Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости: При x=-3 получим ряд Следовательно не выполняется необходимое условие сходимости ряда И данный ряд не сходится абсолютно. Аналогично, ряд При х=3 получим ряд Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: Ответ: интервал абсолютной сходимости ряда: 3. Вычислить определенный интеграл 3.5. Решение Воспользуемся разложением функции
Тогда Имеем Получен знакочередующийся ряд, слагаемое Ответ: 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения У = У(Х) дифференциального уравнения У' = F(Х, Y), удовлетворяющего начальному условию У(0) = У0. 4.5. У' = sin X + Y2; У(0) = 1. Решение Будем искать решение в виде степенного ряда Тейлора-Маклорена Подставив в уравнение начальные условия, находим: Продифференцируем уравнение, получим: Найдем значения производной в нуле: Можно подставить в частное решение: Ответ. 5. Разложить данную функцию F(Х) в ряд Фурье в интервале (A; B). 5.5. F(Х) = Решение Найдём коэффициенты ряда Фурье по формулам В нашем случае Ответ: 6. Найти общее решение дифференциального уравнения. 6.5. Ху' + Решение Данное дифференциальное уравнение – однородное. Приведём его к виду
Обратная подстановка Ответ: 7. Найти частное решение дифференциального уравнения У'(0) = 7.5. Y" + 5Y' + 6Y = 12 cos 2X; У(0) = 1, У'(0) = 3. Решение Сначала решим однородное уравнение: Составим характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения имеет вид: Частные решения неоднородного уравнения будем искать в виде: Подставим в исходное: Приравниваем соответствующие функции, получаем систему: Откуда: И частное решение Общее решение принимает вид: Находим производную: Подставляем начальные условия
=> Тогда Ответ. 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики. 8.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства. Решение Обозначим события:
А)только одно устройство Появление события А означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо Р(А)=0,9*0,05*0,15+0,1*0,95*0,15+0,1*0,05*0,85=0,1685 Б)два устройства Появление события B означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо Р(В)=0,9*0,95*0,15+0,1*0,95*0,85+0,9*0,05*0,85=0,24725 В)все три устройства Наступление события С означает, что одновременно появились независимые события
Ответ: Р(А)= 0,1685, Р(В)= 0,24725, 9. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: Х1 и Х2, причем Х1 < Х2. Известны вероятность Р1 возможного значения Х1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х). Найти закон распределения этой случайной величины. 9.5. Р1 = 0,9; М(Х) = 3,1; D(Х) = 0,09. Решение Используем формулы С учётом того, что р1+р2=1 находим из 2-х уравнений с двумя неизвестными значения x1 и x2, а р1 и р2 уже известны. Получим
Ответ: 10. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. 10.5. F(X) = Решение Продифференцируем, чтобы найти плотность Математическое ожидание находится по формуле: Разобьем на интервалы и подставим: Дисперсия находится по формуле: Разобьем на интервалы и подставим: Ответ:
|