Контрольная работа по мат. анализу 20
1. Исследовать сходимость числового ряда.
1.5. .
Воспользуемся признаком Даламбера: ,
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится.
Ответ: сходится
2. Найти интервал сходимости степенного ряда.
2.5. .
Найдём интервал сходимости ряда ,
Тогда или
.
Ряд сходится на интервале абсолютно.
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=-3 получим ряд , Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость:
. Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда
.
Следовательно не выполняется необходимое условие сходимости ряда
И данный ряд не сходится абсолютно. Аналогично, ряд не сходится условно. Следовательно, ряд
расходится.
При х=3 получим ряд - данный ряд является знакопостоянным. Как доказано выше, он расходится.
Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .
Ответ: интервал абсолютной сходимости ряда: .
3. Вычислить определенный интеграл С точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.
3.5. .
Решение
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
,
Тогда
Имеем
Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
Ответ:
4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения У = У(Х) дифференциального уравнения У' = F(Х, Y), удовлетворяющего начальному условию У(0) = У0.
4.5. У' = sin X + Y2; У(0) = 1.
Решение
Будем искать решение в виде степенного ряда Тейлора-Маклорена
Подставив в уравнение начальные условия, находим:
Продифференцируем уравнение, получим:
Найдем значения производной в нуле:
Можно подставить в частное решение:
Ответ.
5. Разложить данную функцию F(Х) в ряд Фурье в интервале (A; B).
5.5. F(Х) = в интервале (-p, p).
Решение
Найдём коэффициенты ряда Фурье по формулам
В нашем случае
Ответ:
6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
6.5. Ху' +- У = 0.
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное. Приведём его к виду . Сделаем замену У=tx,
. Тогда
,
- уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем
,
Обратная подстановка
Ответ:
7. Найти частное решение дифференциального уравнения
Y" + Py' + Qy = F(X), удовлетворяющее начальным условиям: У(0) = У0,
У'(0) = .
7.5. Y" + 5Y' + 6Y = 12 cos 2X; У(0) = 1, У'(0) = 3.
Решение
Сначала решим однородное уравнение:
Составим характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Частные решения неоднородного уравнения будем искать в виде:
Подставим в исходное:
Приравниваем соответствующие функции, получаем систему:
Откуда:
И частное решение
Общее решение принимает вид:
Находим производную:
Подставляем начальные условия
=>
=>
=>
Тогда
Ответ.
8. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
8.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
Решение
Обозначим события:
= {сработает первое устройство},
={сработает второе устройство},
={ сработает третье устройство },
А)только одно устройство
Появление события А означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо
, либо
, либо
. По правилу сложения вероятностей
. По правилу умножения вероятностей для независимых событий
Р(А)=0,9*0,05*0,15+0,1*0,95*0,15+0,1*0,05*0,85=0,1685
Б)два устройства
Появление события B означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо
, либо
, либо
. По правилу сложения вероятностей
. По правилу умножения вероятностей для независимых событий
Р(В)=0,9*0,95*0,15+0,1*0,95*0,85+0,9*0,05*0,85=0,24725
В)все три устройства
Наступление события С означает, что одновременно появились независимые события , т. е.
. По правилу умножения вероятностей для независимых событий
;.
Ответ: Р(А)= 0,1685, Р(В)= 0,24725,
9. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: Х1 и Х2, причем Х1 < Х2. Известны вероятность Р1 возможного значения Х1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.
9.5. Р1 = 0,9; М(Х) = 3,1; D(Х) = 0,09.
Решение
Используем формулы
С учётом того, что р1+р2=1 находим из 2-х уравнений с двумя неизвестными значения x1 и x2, а р1 и р2 уже известны.
Получим
Xi |
3 |
4 |
Pi |
0,9 |
0,1 |
Xi |
3 |
4 |
Pi |
0,9 |
0,1 |
Ответ:
10. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
10.5. F(X) =
Решение
Продифференцируем, чтобы найти плотность , получим:
Математическое ожидание находится по формуле:
Разобьем на интервалы и подставим:
Дисперсия находится по формуле:
Разобьем на интервалы и подставим:
Ответ: ,
,
< Предыдущая | Следующая > |
---|