Контрольная работа по мат. анализу 20

1. Исследовать сходимость числового ряда.

1.5. .

Решение

Воспользуемся признаком Даламбера: ,

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится.

Ответ: сходится

2. Найти интервал сходимости степенного ряда.

2.5. .

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или .

Ряд сходится на интервале абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-3 получим ряд , Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость: . Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда .

Следовательно не выполняется необходимое условие сходимости ряда

И данный ряд не сходится абсолютно. Аналогично, ряд не сходится условно. Следовательно, ряд расходится.

При х=3 получим ряд - данный ряд является знакопостоянным. Как доказано выше, он расходится.

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: .

Ответ: интервал абсолютной сходимости ряда: .

3. Вычислить определенный интеграл С точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

3.5. .

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Ответ:

4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения У = У(Х) дифференциального уравнения У' = F(Х, Y), удовлетворяющего начальному условию У(0) = У0.

4.5. У' = sin X + Y2; У(0) = 1.

Решение

Будем искать решение в виде степенного ряда Тейлора-Маклорена

Подставив в уравнение начальные условия, находим:

Продифференцируем уравнение, получим:

Найдем значения производной в нуле:

Можно подставить в частное решение:

Ответ.

5. Разложить данную функцию F(Х) в ряд Фурье в интервале (A; B).

5.5. F(Х) = в интервале (-p, p).

Решение

Найдём коэффициенты ряда Фурье по формулам

В нашем случае

Ответ:

6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

6.5. Ху' +- У = 0.

Решение

Данное дифференциальное уравнение – однородное. Приведём его к виду . Сделаем замену У=tx, . Тогда

, - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем

Обратная подстановка

Ответ:

7. Найти частное решение дифференциального уравнения
Y" + Py' + Qy = F(X), удовлетворяющее начальным условиям: У(0) = У0,

У'(0) = .

7.5. Y" + 5Y' + 6Y = 12 cos 2X; У(0) = 1, У'(0) = 3.

Решение

Сначала решим однородное уравнение:

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частные решения неоднородного уравнения будем искать в виде:

Подставим в исходное:

Приравниваем соответствующие функции, получаем систему:

Откуда:

И частное решение

Общее решение принимает вид:

Находим производную:

Подставляем начальные условия

Тогда

Ответ.

8. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

8.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

Решение

Обозначим события:

= {сработает первое устройство},

={сработает второе устройство},

={ сработает третье устройство },

А)только одно устройство

Появление события А означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо , либо , либо . По правилу сложения вероятностей . По правилу умножения вероятностей для независимых событий

Р(А)=0,9*0,05*0,15+0,1*0,95*0,15+0,1*0,05*0,85=0,1685

Б)два устройства

Появление события B означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо , либо , либо . По правилу сложения вероятностей . По правилу умножения вероятностей для независимых событий

Р(В)=0,9*0,95*0,15+0,1*0,95*0,85+0,9*0,05*0,85=0,24725

В)все три устройства

Наступление события С означает, что одновременно появились независимые события , т. е. . По правилу умножения вероятностей для независимых событий

Ответ: Р(А)= 0,1685, Р(В)= 0,24725,

9. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: Х1 и Х2, причем Х1 < Х2. Известны вероятность Р1 возможного значения Х1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

9.5. Р1 = 0,9; М(Х) = 3,1; D(Х) = 0,09.

Решение

Используем формулы

С учётом того, что р1+р2=1 находим из 2-х уравнений с двумя неизвестными значения x1 и x2, а р1 и р2 уже известны.

Получим

Xi	3	4
Pi	0,9	0,1

Xi	3	4
Pi	0,9	0,1

Ответ:

10. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

10.5. F(X) =