Контрольная работа по мат. анализу2 (укр)
А)
Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на прямой . Изобразим данную область на рисунке:
Б) Для определения области определения решим систему неравенств
.
Изобразим прямые и На плоскости хОу и определим область определения исходной функции:
Неравенству соответствует полуплоскость ниже прямой .
Неравенству соответствует плоскость хОу без прямой
Окончательно, область определения данной функции – полуплоскость, расположенная ниже прямой , без части прямой
По любой прямой предел один и тот же:
.
С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда
;
Следовательно, предел не существует.
Решение
А) 1. Запишем функцию, значение которой нужно найти:
2. Выберем значения аргументов х0=1 и у0=1 и вычислим значение функции .
3. Найдём Δх=-0,03 и Δу=0,05.
4. Найдём полный дифференциал функции и вычислим его значение в точке (х0,у0), то есть в точке (1;1).
, ,
5. Искомое значение функции z1 = z0 + Δz; z1 ≈ z0 + dz:
Б) 1. Запишем функцию, значение которой нужно найти:
2. Выберем значения аргументов х0= и у0= и вычислим значение функции .
3. Найдём Δх=И Δу=.
4. Найдём полный дифференциал функции и вычислим его значение в точке (х0,у0), то есть в точке (;).
, ,
5. Искомое значение функции z1 = z0 + Δz; z1 ≈ z0 + dz:
Решение
А) Найдём и :
,
По формуле
Б) Найдём и :
,
По формуле
Решение
Так как и , то
Решение
Производные неявной функции находятся по формулам:
Найдём:
, ,
Тогда ,
,
Решение
Найдём . Тогда
Следовательно, данная функция удовлетворяет данному уравнению
Решение
А) 1. Касательная плоскость задается уравнением вида: .
В данном случае .
; , ; .
Подставим данные в уравнение касательной плоскости:
, , - уравнение касательной плоскости.
2. Нормаль к поверхности задается уравнением вида:
Подставим исходные данные: или
Б) 1. Касательная плоскость задается уравнением вида: .
В данном случае .
, ;
, ;
, ;
Подставим данные в уравнение касательной плоскости:
, - уравнение касательной плоскости.
2. Нормаль к поверхности задается уравнением вида:
Подставим исходные данные: .
Решение
Находим частные производные первого и второго порядка:
Fx ( X, Y) = ; Fy ( X, Y) = ;
Fxx ( X, Y) = -2; Fxy ( X, Y) = 1; Fyy ( X, Y) = -4.
Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек:
Решая систему находим критическую точку М1 (2, 3).
Вычисляем значения частных производных второго порядка в этой точке:
А1 = ( 2, 3) = -2, B1 = Fxy ( 2, 3) = 1, C1 = Fyy ( 2, 3) = -4,
Затем находим определитель:
В силу достаточных условий заключаем, что в точке М1 функция имеет максимум, так как > 0 и А1 < 0, причем max F ( X , Y) = F (2, 3) = 8.
Решение
Составляем уравнение Лагранжа:
Необходимые условия существования условного экстремума определяются системой уравнений:
Тогда критическая точка
Вычисляем вторые частные производные: ,
Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .
Определяем знак второго дифференциала в стационарной точке
не является определенным по знаку. Однако из уравнения связи видно, что И в точке . Таким образом,
Значит, функция имеет в точке локальный условный максимум .
Решение
Построим область, ограниченную заданными линиями:
Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Найдем стационарные точки, в которых частные производные равны нулю.
Решим систему уравнения
И получим три точки О(0;0) ,М(2;0) и N(1;0.5) в которых частные производные равны нулю.
Первая и вторая из них принадлежат границе области. Следовательно, если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке N(1;0.5), тогда
Исследуем функцию на границе области. На отрезке ОА имеем , и поэтому z=0.
На отрезке АВ имеем , функция представляет собой функцию одной переменной . Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Найдем и решим уравнение Или . Тогда находятся внутри отрезка , критическими точками на отрезке АВ являются точки и Итак, из всех значений функции на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках , и .
, ,
Исследуем функцию на границе области. На отрезке ОВ имеем , и поэтому z=0.
Таким образом, наибольшее значение функции в заданной области равно и наименьшее значение .
Решение
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
A0n + a1∑t = ∑y
A0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Составим вспомогательную таблицу:
T |
Y |
T2 |
Y2 |
T•y |
1 |
4.6 |
1 |
21.16 |
4.6 |
2 |
5.6 |
4 |
31.36 |
11.2 |
3 |
4.1 |
9 |
16.81 |
12.3 |
4 |
2.1 |
16 |
4.41 |
8.4 |
5 |
2.6 |
25 |
6.76 |
13 |
15 |
19 |
55 |
80.5 |
49.5 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
5a0 + 15a1 = 19
15a0 + 55a1 = 49.5
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.75, a1 = 6.05
Уравнение тренда: y = -0.75 t + 6.05
Сделаем рисунок:
< Предыдущая | Следующая > |
---|