Контрольная работа по мат. анализу2 (укр)

Решение

А)

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на прямой . Изобразим данную область на рисунке:

Б) Для определения области определения решим систему неравенств

.

Изобразим прямые и На плоскости хОу и определим область определения исходной функции:

Неравенству соответствует полуплоскость ниже прямой .

Неравенству соответствует плоскость хОу без прямой

Окончательно, область определения данной функции – полуплоскость, расположенная ниже прямой , без части прямой

Решение

По любой прямой предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

Следовательно, предел не существует.

Решение

А) 1. Запишем функцию, значение которой нужно найти:

2. Выберем значения аргументов х0=1 и у0=1 и вы­числим значение функции .

3. Найдём Δх=-0,03 и Δу=0,05.

4. Найдём полный дифференциал функции и вычислим его значение в точке (х0,у0), то есть в точке (1;1).

, ,

5. Искомое значение функции z1 = z0 + Δz; z1 ≈ z0 + dz:

Б) 1. Запишем функцию, значение которой нужно найти:

2. Выберем значения аргументов х0= и у0= и вы­числим значение функции .

3. Найдём Δх=И Δу=.

4. Найдём полный дифференциал функции и вычислим его значение в точке (х0,у0), то есть в точке (;).

, ,

5. Искомое значение функции z1 = z0 + Δz; z1 ≈ z0 + dz:

Решение

А) Найдём и :

,

По формуле

Б) Найдём и :

,

По формуле

Решение

Так как и , то

Решение

Производные неявной функции находятся по формулам:

Найдём:

, ,

Тогда ,

,

Решение

Найдём . Тогда

Следовательно, данная функция удовлетворяет данному уравнению

Решение

А) 1. Касательная плоскость задается уравнением вида: .

В данном случае .

; , ; .

Подставим данные в уравнение касательной плоскости:

, , - уравнение касательной плоскости.

2. Нормаль к поверхности задается уравнением вида:

Подставим исходные данные: или

Б) 1. Касательная плоскость задается уравнением вида: .

В данном случае .

, ;

, ;

, ;

Подставим данные в уравнение касательной плоскости:

, - уравнение касательной плоскости.

2. Нормаль к поверхности задается уравнением вида:

Подставим исходные данные: .

Решение

Находим частные производные первого и второго порядка:

Fx ( X, Y) = ; Fy ( X, Y) = ;

Fxx ( X, Y) = -2; Fxy ( X, Y) = 1; Fyy ( X, Y) = -4.

Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек:

Решая систему находим критическую точку М1 (2, 3).

Вычисляем значения частных производных второго порядка в этой точке:

А1 = ( 2, 3) = -2, B1 = Fxy ( 2, 3) = 1, C1 = Fyy ( 2, 3) = -4,

Затем находим определитель:

В силу достаточных условий заключаем, что в точке М1 функция имеет максимум, так как > 0 и А1 < 0, причем max F ( X , Y) = F (2, 3) = 8.

Решение

Составляем уравнение Лагранжа:

Необходимые условия существования условного экстремума определяются системой уравнений:

Тогда критическая точка

Вычисляем вторые частные производные: ,

Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .

Определяем знак второго дифференциала в стационарной точке

не является определенным по знаку. Однако из уравнения связи видно, что И в точке  . Таким образом,

Значит, функция  имеет в точке  локальный условный максимум .

Решение

Построим область, ограниченную заданными линиями:

Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Найдем стационарные точки, в которых частные производные равны нулю.

Решим систему уравнения

И получим три точки О(0;0) ,М(2;0) и N(1;0.5) в которых частные производные равны нулю.

Первая и вторая из них принадлежат границе области. Следовательно, если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке N(1;0.5), тогда

Исследуем функцию на границе области. На отрезке ОА имеем , и поэтому z=0.

На отрезке АВ имеем , функция представляет собой функцию одной переменной . Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Найдем и решим уравнение Или . Тогда находятся внутри отрезка , критическими точками на отрезке АВ являются точки и Итак, из всех значений функции на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках , и .

, ,

Исследуем функцию на границе области. На отрезке ОВ имеем , и поэтому z=0.

Таким образом, наибольшее значение функции в заданной области равно и наименьшее значение .

Решение

Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a

1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

A0n + a1∑t = ∑y

A0∑t + a1∑t2 = ∑y•t

Составим вспомогательную таблицу:

T

Y

T2

Y2

T•y

1

4.6

1

21.16

4.6

2

5.6

4

31.36

11.2

3

4.1

9

16.81

12.3

4

2.1

16

4.41

8.4

5

2.6

25

6.76

13

15

19

55

80.5

49.5

Для наших данных система уравнений имеет вид:

5a0 + 15a1 = 19

15a0 + 55a1 = 49.5

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = -0.75, a1 = 6.05

Уравнение тренда: y = -0.75 t + 6.05

Сделаем рисунок:

Яндекс.Метрика