Контрольная работа по мат. анализу 18

Контрольная работа №1

Задания 1-10. При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y. Требуется:

1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях.

3. Выполнить проверку результата.

4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых.

А = , Y =

Решение

1. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид , где Вектор валового выпуска продукции, Вектор конечного потребления, Матрица прямых материальных затрат. Известны вектор конечного потребления и матрица прямых материальных затрат .

Подставим в уравнение Леонтьева векторы и матрицу А:

Используя правила умножения матриц, сложения векторов и определение равенства векторов, получаем систему уравнений:

Полученная система – это векторное уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

Для решения этой системы приведем подобные члены:

Все уравнения умножим на 100:

2. Решим полученную систему методом Гаусса.

Метод Гаусса.

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (10). Умножим 2-ую строку на (-9). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (4). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (880). Умножим 2-ую строку на (330). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Итак, решение системы в неправильных дробях будет иметь вид: , , . Они будут выражать плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей.

3. Выполним проверку полученного результата. Для этого подставим эти значения в исходную систему:

Вычисляя, получаем верные равенства.

4. Запишем приближенный ответ с точностью до сотых: , ,

Задания 11-20. Даны векторы

в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

Решение

Решение. Для того, чтобы векторы образовывали базис, необходимо показать, что векторы некомпланарны, т. е. их смешанное произведение отлично от нуля.

Вычислим смешанное произведение с помощью определителя третьего порядка:

= = -80.

Поскольку = -800, то векторы образуют базис в пространстве R3.

Следовательно, любой вектор этого пространства единственным образом можно представить в виде =, где - координаты вектора в базисе .

От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами:

или

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными координаты вектора в новом базисе.

Решаем полученную систему методом Крамера, в соответствии с которым:

1) система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение, если - определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов системы, не равен 0.

2) неизвестные находим по формулам Крамера,

Где - определители третьего порядка, составленные из определителя системы заменой коэффициентов, стоящих в системе перед , свободными членами соответственно:

Тогда по формулам Крамера:

Проверка

Получили тождества. Следовательно, система решена верно.

Ответ: 1) векторы образуют базис, 2) вектор в базисе имеет следующее разложение: =.

Задания 21-30. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти: 1) площадь грани ;

2) объем пирамиды; 3) уравнения прямой ; 4) уравнение плоскости ; 5) уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ; 6) длину высоты ; 7) координаты точки пересечения высоты с плоскостью .

(3;-1;2), (-1;0;1), (1;7;3), (8;5;8).

Решение

Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

A1A2(-4;1;-1)

A1A3(-2;8;1)

A1A4(5;6;6)

1) Для нахождения площади грани воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения , равного площади параллелограмма, построенного на векторах И как на сторонах.

Найдем векторное произведение

Тогда искомая площадь грани равна:

= (ед2).

2) Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим Определитель матрицы

∆ = (-4) • (8 • 6-6 • 1)-(-2) • (1 • 6-6 • (-1))+5 • (1 • 1-8 • (-1)) = -99

3) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2

4) Уравнение плоскости

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-3)(1 • 1-8 • (-1)) - (y+1)((-4) • 1-(-2) • (-1)) + (z-2)((-4) • 8-(-2) • 1) = 9x + 6y - 30z-39 = 0

3x + 2y - 10z-13 = 0

5) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: