Контрольная работа по мат. анализу 18 |
Контрольная работа №1 Задания 1-10. При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y. Требуется: 1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме. 2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях. 3. Выполнить проверку результата. 4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых. А = 1. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид Подставим в уравнение Леонтьева
Используя правила умножения матриц, сложения векторов и определение равенства векторов, получаем систему уравнений: Полученная система – это векторное уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме. Для решения этой системы приведем подобные члены: Все уравнения умножим на 100: 2. Решим полученную систему методом Гаусса. Метод Гаусса. Запишем систему в виде: Для удобства вычислений поменяем строки местами: Умножим 1-ую строку на (10). Умножим 2-ую строку на (-9). Добавим 2-ую строку к 1-ой: Умножим 2-ую строку на (4). Добавим 3-ую строку к 2-ой: Для удобства вычислений поменяем строки местами: Умножим 1-ую строку на (880). Умножим 2-ую строку на (330). Добавим 2-ую строку к 1-ой: Из 1-ой строки выражаем x3 Из 2-ой строки выражаем x2 Из 3-ой строки выражаем x1 Итак, решение системы в неправильных дробях будет иметь вид: 3. Выполним проверку полученного результата. Для этого подставим эти значения в исходную систему: Вычисляя, получаем верные равенства. 4. Запишем приближенный ответ с точностью до сотых: Задания 11-20. Даны векторы
Решение Решение. Для того, чтобы векторы Вычислим смешанное произведение
Поскольку Следовательно, любой вектор От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами:
Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Решаем полученную систему методом Крамера, в соответствии с которым: 1) система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение, если 2) неизвестные Где
Тогда по формулам Крамера: Проверка Получили тождества. Следовательно, система решена верно. Ответ: 1) векторы Задания 21-30. Даны координаты вершин пирамиды 2) объем пирамиды; 3) уравнения прямой
Решение Координаты векторов Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; A1A2(-4;1;-1) A1A3(-2;8;1) A1A4(5;6;6) 1) Для нахождения площади грани Найдем векторное произведение
2) Объем пирамиды Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: Находим Определитель матрицы ∆ = (-4) • (8 • 6-6 • 1)-(-2) • (1 • 6-6 • (-1))+5 • (1 • 1-8 • (-1)) = -99 3) Уравнение прямой Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: Уравнение прямой A1A2 4) Уравнение плоскости Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: Уравнение плоскости A1A2A3 (x-3)(1 • 1-8 • (-1)) - (y+1)((-4) • 1-(-2) • (-1)) + (z-2)((-4) • 8-(-2) • 1) = 9x + 6y - 30z-39 = 0 3x + 2y - 10z-13 = 0 5) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4 Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 6) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4 Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины: 7. Координаты точки пересечения высоты Координаты точки пересечения высоты Запишем уравнения высоты
Тогда Найдем значение параметра t. Подставляя выражения
Искомые координаты точки пересечения:
Задание 32. Найти проекцию точки Решение Сделаем чертёж Сначала напишем уравнение прямой, проходящей через точки Тогда Теперь выпишем уравнение прямой, проходящей через точку
Осталось найти точку пересечения первой и второй прямой. Эта точка и будет проекцией. Для этого надо решить систему уравнений Отсюда Ответ: Задания 41-50. Вычислить пределы функций. 1. 2. 3. 4. 5. Решение 1. 2. 3. Использовали, 4. 5. Задания 51-60. Найти производные 1. 2. 3. Решение 1. 2. По формуле
|