Контрольная работа по мат. анализу 13 |
|
Контрольная работа №2 Раздел 4. Пример 4.1. Найти область определения функции D(f)
Решение. Если числовая функция задана аналитически (в виде формулы Пример 4.2. Найти область определения функций:
Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Пример 4.3. Найти область определения функции
Решение. Для существования функции Таким образом, получены условия
Следовательно, Пример 4.4. Определить, являются ли функции 1. 2. 3. 4. Четными или нечетными. Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений: 1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т. е. если 2. Выполняются ли равенства Для указанных в задаче функций: 1. То функция 2. То функция 3. Следовательно, функция нечетная; 4. Следовательно, функция Пример 4.5. Найти период функции
Решение. При решении задач на нахождение периода функции следует использовать следующее. Функция является периодической, если существует такое число Т¹0, GB> ?@8 ;N1>< X из области определения функции числа В этом случае Т есть период функции Так как Пример 4. 6. Доказать, что Решение. Зададим произвольное Действительно,
Значит, если положить Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции. Теорема. Если при
Пример 4.7. Вычислить
Решение. Так как
То по теореме о пределе частного получаем, что
Но не всегда можно применять теоремы о пределах без предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: Приемом раскрытия неопределенности вида При неопределенности вида Неопределенности же вида Пример 4. 8. Вычислить
Решение. Наивысшая степень X - вторая, делим числитель и знаменатель на
Пример 4.9. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида
Пример 4. 10. Вычислить
Решение. Числитель и знаменатель дроби при
Пример 4.11. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида
Пример 4.12. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида
Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида
Пример 4.13. Вычислить
Решение. Так как Выполним преобразования
Пример 4.14. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.
Естественно, что на интервалах Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке. Рассмотрим точку
Вычислим односторонние пределы
Так как односторонние пределы не совпадают, Рассмотрим точку
Рис. 2 Пример 4.15. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.
Решение. Область определения функции
Найдем односторонние пределы
Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель
Рис. 3 Раздел 5. Пример 5.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
Решение. 1.
2.
Производная сложной функции имеет вид
Следовательно,
5. Функция
Находим производные от
Пример 5.2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой Решение. Уравнение касательной к кривой в точке
Для определения углового коэффициента касательной
Подставляя значения
Уравнение нормали
Пример 5.3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону Решение. Найдем скорость
При
Пример 5.4. Найти дифференциалы функций 1. 2. Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции: 1. 2.
Полагая Пример 5.5. Вычислить приближенное значение: 1. 2. Решение. Если требуется вычислить
1. Будем рассматривать
Подставляя в формулу, получим
Получим
Пример 5.6. Найти пределы используя правило Лопиталя 1. 2. 3. 4. Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность 1. 2.
Здесь правило Лопиталя применено дважды. 3.
4. Раздел 6. Пример 6.1. Исследовать функцию 1. Функция определена и непрерывна в интервалах 2. Функция общего вида, так как
3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при X = 0, Y= -2, т. е. в точке В(0; -2). 4. Исследуем функцию на наличие асимптот. а) Уравнение вертикальной асимптоты:
б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты 5. Исследуем функцию на экстремум.
Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.
Рис. 4. Получили, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 4).
6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.
Точек перегиба нет, так как Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 5а).
Рис. 5а. Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции.
|
) и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение 
- действительное число. Для существования заданной функции 
необходимо, чтобы имело место неравенство 
. Для существования функции 
должно иметь место неравенство 
, откуда 
. Область определения исходной функции 
или 
.
3. 
; 
.
необходимо, чтобы 
. Для существования функции 
надо, чтобы 
, откуда 
. Для существования функции 
необходимо, чтобы 
, откуда 
.
.
;
;
;
, то и 
;
или 
. При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.
,
- нечетная;
,
является четной;
,
,
не является ни четной, ни нечетной.
.
и 
также принадлежат этой области и выполняется равенство 
.
, то период Т=1.
и покажем, что существует положительное 
такое, что из неравенства 
вытекает неравенство 
.
.
, то выполнение неравенства 
влечет за собой выполнение неравенства 
. Таким образом, согласно определению, заключаем, что 
существуют пределы функций 
и 
, то:
;
;
, где 
;
, где 
- постоянный множитель.
.
, а 
,
.
, 
, 
, 
, 
.
или 
. Поясним сказанное на примерах.
.
. Получим
, так как 
и 
.
.
.
.
стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель
.
.
.
.
.
. Наибольшая степень X - первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на X, получим
.
.
, а 
, то имеет место неопределенность вида 
.
.
Если 
, 
и 
функция непрерывна. Проверке подлежат только точки 
и 
.
.
,
.
,
,
,
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.
.
. Точка разрыва 
.
; 
.
, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 3.
4. 
есть сложная функция.
, где 
.
или 
.
.
- сложная функция.
, где 
, а 
,
.
от независимой переменной 
задана через посредство вспомогательной переменной (параметра T). Производная от 
.
,
,
.
в точке, где 
.
,
,
.
находим производную
,
.
в уравнение, получим
или 
.
,
или 
.
. Определить скорость и ускорение движения в момент времени 
.
и ускорение 
движения в любой момент времени T
;
.
,
.
;
, вычислить 
.
;
и 
, получим 
.
;
.
и если проще вычислить 
и 
, то при достаточно малой по абсолютному значению разности 
можно заменить приращение функции ее дифференциалом 
и отсюда приближенное значение искомой величины по формуле
.
при 
. Пусть 
, тогда
,
,
.
.
,
, 
.
.
;
;
;
.
или 
, применяем затем правило Лопиталя.
;
;
;
.
и построить её график.
.
.
. Вычислим пределы функции при 
слева и справа.
.
.
.
.
- точки, подозрительные на экстремум.
; 
.
.
