Контрольная работа по мат. анализу 11
Задание по математике вариант 11
Задание 1
1. Вычислить неопределенный интеграл:
А) 
; б) 
; в) 
А) ;
Б) ;
Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:
Тогда
В) 
2. Вычислить определенные интегралы:
А) 
; б) 
А) 
;
Б) 
3. Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Решение
4. Вычислить площадь фигуры, заданной в параметрическом виде:
,
Решение
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:
По формуле 
.
Так как фигура симметрично относительно оси ОУ, то будем искать площадь половины фигуры, расположенную в первом квадранте. Тогда, при 
Тогда 
Ответ: 
(кв. ед.)
Задание 2
5. 
Решение
Приведём уравнение к виду: 
Данное уравнение является однородным, Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал 
, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Получили 
Из введенной подстановки следует, что 
. Следовательно, 
Ответ: 
6. 
, y(2) = 4
Решение
Это уравнение вида 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
или 
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения 
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид 
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим 
откуда 
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим 
Ответ: 
7. xy′′′ + 2y′′ = 0
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно, понизить его порядок можно с помощью подстановки 
, тогда 
.
Отсюда 
- уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные: 
Интегрируя, находим 
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ: 
8. y”+6y’+13y= e-3xcos5x
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+6r+13=0
Корни характеристического уравнения: 
Общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Рассмотрим правую часть: f(x) = e-3xcos5x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = -3, β = 5.
Следовательно, число α + βi = -3 + 5i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = e-3x(Acos(5x) + Bsin(5x))
Вычисляем производные:
Y' = (-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x-3(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x
Y'' = (-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e-3x-6(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x +9(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
((-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e-3x-6(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x +9(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x)+6((-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e-3x-3(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e-3x) +13(e-3x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e-3•x•cos(5•x)
или -21•B•e-3x•sin(5x)-21•A•cos(5x)•e-3x = e-3•x•cos(5•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
0A -21B = 0
-21A = 1
Решая ее, находим: A = -1/21;B = 0;
Частное решение имеет вид: y* = e-3x(-1/21cos(5x) + 0sin(5x)). Или y*=e-3x(-1/21cos(5x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Ответ: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|