Контрольная работа по мат. анализу (укр)
Тема 1. Диференційне числення функцій багатьох змінних.
Завдання 1. Знайти частинні похідні та
функції
.
Найдём и
:
,
Завдання 2. Знайти частинні похідні ,
та
функції
.
Найдём ,
и
:
,
,
Завдання 3. Знайти частинні похідні 2-го порядку ,
,
,
та перевірити, що
:
.
Решение
Найдём ,
,
,
:
,
,
,
,
,
.
Тогда имеем , то есть
Завдання 4. Дослідити функцію на екстремум
Решение
Найдем Решив систему уравнений
получим стационарную точку
, то есть
.
В этой точке выполнены необходимые условия экстремума. Найдем вторые частные производные
Вычислим . Так как
, то точка
является точкой локального минимума.
Тема 2. Подвійні, потрійні, криволінійні та поверхневі інтеграли.
Завдання 5. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями:
А) , де
.
Б) , де
.
В) , де
.
Решение
А) Изобразим данную область D:
Перейдём от двойного интеграла к повторному и вычислим его:
Ответ:
Б) Изобразим данную область D:
Перейдём от двойного интеграла к повторному и вычислим его:
Ответ:
В) , де
.
Перейдём от двойного интеграла к повторному, для этого перейдём к полярным координатам . Тогда
Ответ:
Завдання 6. За допомогою потрійного інтегралу знайти об’єм області V, обмеженої поверхнями:
А) .
Б) .
Решение
А) Изобразим данное тело:
Проекция тела на плоскость :
Тогда по формуле объем тела равен
Ответ: .
Б) Изобразим данное тело:
Тогда по формуле
Перейдём к циллиндрическим координатам:
Объем тела равен
Ответ:
Завдння 7. Обчислити криволінійні інтеграли 1-го роду по вказаним лініям L:
А) , де
Б) , де
.
Решение
А) По формуле
В нашем случае:
Ответ:
Б),
.
По формуле
Ответ:
Завдння 8. Обчислити криволінійні інтеграли 2-го роду:
А) , де
від точки
до
Б) , де
від точки
до
.
Решение
А) Y=X2 Þ Dy=2Xdx, XÎ[0;1].
Ответ:
Б) від точки
до
.
- параметрические уравнения кривой L (T изменяется от 0 до )
,
. Тогда
Ответ:
Завдання 9. Знайти та
:
Решение
Найдём . Тогда, по формулам,
Завдання 10. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону циліндричної поверхні
та площинами
. Застосувати теорему Остроградського–Гаусса.
Решение
Поток данного векторного поля через поверхность по теореме Гаусса-Остроградского равен:
,
, где
.
Тогда
Перейдем к цилиндрической системе координат:
,
,
Ответ:
Завдання 11. Знайти градієнт скалярного поля .
Решение
По формуле , тогда
Завдання 12. Довести, що векторне поле є потенціальним та знайти його потенціал.
Решение
Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:
В нашем случае
Следовательно, поле потенциальное. Найдем его потенциал И, считая, что И(0;0;0) = 0:
Ответ:
Тема 3. Диференціальні рівняння.
Завдання 13. Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння з відокремлювальними змінними.
Решение
Данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
.
Тогда - искомый общий интеграл.
Ответ:
Завдання 14. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.
Решение
Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение.
Выполним замену , тогда
. Подставим в исходное:
,
.
Пусть функция такова, что сумма в скобках обращается в ноль. Решим уравнение
.
Подставляя ее в уравнение , получим
,
Окончательно: .
Ответ:
Завдання 15. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння 1-го порядку
Решение
Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение.
Положим Y=Zx. Тогда Dy=Xdz+Zdx, сократив на и собрав члены при Dx и Dz получим:
Разделим переменные: .
Интегрируя, получим ;
Или
Заменив здесь Z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде
.
Ответ:
Завдання 16. Знайти загальний розв’язок лінійного ДР 2-го порядку с постійними коефіцієнтами:
а)
, б)
, в)
.
Решение
А),
Характеристическое уравнение будет .
Его корни . Общее решение будет
.
Б),
Характеристическое уравнение будет .
Его корни . Общее решение будет
.
В).
Характеристическое уравнение будет .
Его корни . Общее решение будет
.
Завдання 17. Розв’язати задачу Коші:
Решение
Соответствующее однородное
Характеристическое уравнение .
Общее решение однородного уравнения
Частное решение заданного уравнения ищем в виде , тогда
,
- подставим в исходное уравнение.
.
Тогда частное решение примет вид:
Общее решение исходного уравнения: .
Используем начальные условия: . Тогда
,
Для отыскания - решим систему уравнений:
Тогда, окончательно,
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|