Контрольная работа по мат. анализу (укр) |
Тема 1. Диференційне числення функцій багатьох змінних. Завдання 1. Знайти частинні похідні Найдём
Завдання 2. Знайти частинні похідні Найдём
Завдання 3. Знайти частинні похідні 2-го порядку Решение Найдём
Тогда имеем Завдання 4. Дослідити функцію на екстремум Решение Найдем В этой точке выполнены необходимые условия экстремума. Найдем вторые частные производные Вычислим Тема 2. Подвійні, потрійні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Завдання 5. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями: А) Б) В) Решение А) Изобразим данную область D: Перейдём от двойного интеграла к повторному и вычислим его: Ответ: Б) Изобразим данную область D: Перейдём от двойного интеграла к повторному и вычислим его: Ответ: В) Перейдём от двойного интеграла к повторному, для этого перейдём к полярным координатам
Завдання 6. За допомогою потрійного інтегралу знайти об’єм області V, обмеженої поверхнями: А) Б) Решение А) Изобразим данное тело: Проекция тела на плоскость Тогда по формуле Ответ: Б) Изобразим данное тело: Тогда по формуле Перейдём к циллиндрическим координатам: Объем тела равен Ответ: Завдння 7. Обчислити криволінійні інтеграли 1-го роду по вказаним лініям L: А) Б) Решение А) По формуле В нашем случае: Ответ: Б) По формуле Ответ: Завдння 8. Обчислити криволінійні інтеграли 2-го роду: А) Б) Решение А) Y=X2 Þ Dy=2Xdx, XÎ[0;1]. Ответ: Б) - параметрические уравнения кривой L (T изменяется от 0 до
Ответ: Завдання 9. Знайти Решение Найдём Завдання 10. Знайти потік векторного поля Решение Поток данного векторного поля через поверхность
Тогда Перейдем к цилиндрической системе координат:
Завдання 11. Знайти градієнт скалярного поля Решение По формуле , тогда
Завдання 12. Довести, що векторне поле Решение Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия: В нашем случае Следовательно, поле Ответ: Тема 3. Диференціальні рівняння. Завдання 13. Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння з відокремлювальними змінними.
Решение Данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Тогда Ответ: Завдання 14. Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.
Решение Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение. Выполним замену
Пусть функция Подставляя ее в уравнение
Окончательно: Ответ: Завдання 15. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння 1-го порядку
Решение Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение. Положим Y=Zx. Тогда Dy=Xdz+Zdx, сократив на Разделим переменные: Интегрируя, получим Или Заменив здесь Z на Ответ: Завдання 16. Знайти загальний розв’язок лінійного ДР 2-го порядку с постійними коефіцієнтами:
Решение А) Характеристическое уравнение будет Его корни Б) Характеристическое уравнение будет Его корни В) Характеристическое уравнение будет Его корни Завдання 17. Розв’язати задачу Коші:
Решение Соответствующее однородное Характеристическое уравнение Общее решение однородного уравнения Частное решение заданного уравнения ищем в виде
Тогда частное решение примет вид: Общее решение исходного уравнения: Используем начальные условия:
Для отыскания Тогда, окончательно, Ответ:
|