Интегрирование ФНП

Тест

Контрольная работа

По теме: «Интегрирование ФНП»

Задача 1. Вычислить двойной интеграл: , где .

Решение.

Изобразим заданную область :

Задача 2. Вычислить площадь области (с помощью перехода к полярной системе координат):

Решение.

Формула замены переменных:

.

Перейдем к полярным координатам:

Якобиан

.

Найдем пределы интегрирования в системе .

Рассмотрим два варианта решения (см. рис.):

А)

А)

А)

Б)

Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями (переход к ЦСК):

Решение.

Перейдем к цилиндрической системе координат:

Якобиан

.

Подставляя в , получаем .

Максимальное достигнется при условии . Решим это уравнение:

Получаем, что , .

Объем тела, ограниченный поверхностями равен:

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

Решение.

Формула для вычисления:

.

Задача 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности - часть поверхности (Р), отсеченная координатными плоскостями:

Решение.

Так как : , то разделив обе части уравнения на 3, получим уравнение плоскости в отрезках:

.

Получаем : , , ,.

Из уравнения : Выразим z: .

.

Дифференциал площади равен:

Чтобы расставить границы интегрирования, найдем уравнение стороны АВ:

Яндекс.Метрика