Интегралы, дифференциальные уравнения 01

Найти неопределённые интегралы (результаты в случаях а) и б) проверить дифференцированием)

А)

Проверка - верно

Б)

Проверка

- верно

В)

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:

Г)

Д)

А) Вычислить определённый интеграл.

Б), в) Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

А)

Б)

В)

Посчитаем неопределённый интеграл

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби

Тогда Тогда искомый интеграл

А) Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями

Изобразим данную фигуру:

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений

Найдём площадь части круга, которую вырезает гипербола из круга , расположенную в первой четверти.

По формуле .

Имеем , , . Тогда

Такую же по площади часть вырезает гипербола из круга , расположенную в третьей четверти.

Тогда площадь двух таких частей

Площадь круга по формуле

Тогда, площадь части круга без вырезанных гиперболой частей будет равна

Б) Вычислить длины дуг кривых. ,

По формуле

В нашем случае

Тогда

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями. а) , , ,

Изобразим проекцию данного тела на плоскость хОу

По формуле

В нашем случае

Подставив, получим:

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка (а, б, в, г). Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

А)

Приведём уравнение к виду:

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда:

Б)

Приведём уравнение к виду

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал , и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно,

В)

Приведём уравнение к виду:

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда:

Г) , ,

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: .

Используем начальные условия , . Тогда

Тогда окончательно

А) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка.

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: .

Возвращаясь к функции у, получим

Б) Указать вид частных решений для данных неоднородных уравнений, найти общее решение соответствующего однородного уравнения и найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.