Интегралы, дифференциальные уравнения, теория вероятностей

1. Неопределённый интеграл

Найти неопределенные интегралы

А) Б) В)

Решение

А)

Б)

В)

Применим способ интегрирования по частям

2. Определённый интеграл

А) Вычислить определённый интеграл.

Б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , и прямой .

Решение

А)

Б) Найдем абсциссы точек пересечения линий

3. Функции двух переменных.

Дана функция двух переменных .

А) Найти область определения функции , изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

Б) Проверить, удовлетворяет ли функция указанному дифференциальному уравнению. ,

Решение

А)

Б)

4. Экстремумы функции двух переменных

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области.

Решение

Найдем производные первого порядка

Решим систему уравнений

- стационарная точка

Исследуем функцию в граничных условиях

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение

Найдем решение соответствующего однородного уравнения

Представим С как С(х)

Подставим в исходное уравнение

2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям;

Решение

Пусть , тогда

Выполним обратную замену переменных

Найдем

Найдем

3. Плоскость и прямая в пространстве

Даны четыре точки: . Найти:

А1, А2, А3, А4

Решение

1)  Уравнение прямой () в канонической форме;

2) уравнение прямой (R), проходящей через точкуПараллельно прямой (А1А2);

3)  Тупой угол между прямыми () и (), т. е.

Найдем каноническое уравнение прямой

Косинус угла между прямыми

4)  Уравнение плоскости ();

5)  Угол между прямой () и плоскостью ();

Синус угла между прямой и плоскостью

6) уравнение прямой ( S), проходящей через току

перпендикулярно плоскости ();

Найдем уравнение плоскости

Уравнение прямой ( S), проходящей через току

6)  Угол между плоскостью () и плоскостью ();

Косинус угла между плоскостями

8) уравнение плоскости (Q), проходящей через точкуПараллельно плоскости ().

4. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений

Дана расширенная матрица системы трёх линейных уравнений тремя неизвестными.

Найти: 1) ранг расширенной матрицы и ранг матрицы системы;

2) записать систему в виде матричного уравнения.

3) найти общее решение системы методом полного исключения.

Решение

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (9). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (-9). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

X2 = [24 - (23x3)]/(-34)

X1 = [-11 - (x2 - 2x3)]/5

Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Приравняем переменную x3 к 0

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

5. Теория вероятностей

5.05. Стрелок, имеющий 3 патрона и попадающий в мишень с вероятностью 0,9 при каждом выстреле, стреляет или до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа использованных патронов.

Решение

Применим формулу Бернулли

Закон распределения

X

0

1

2

3

P

0,001

0,027

0,243

0,729

Математическое ожидание и дисперсия

Яндекс.Метрика