logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Интегралы, дифференциальные уравнения

Вариант 8

1. Найти неопределённые интегралы:

А) б) в) г)

Решение

А)

Б) в)

Г)

2. Вычислить определённые интегралы:

А) Б) в) г)

Решение

А)

Б) в) г)

3. Найти общие решения дифференциальных уравнений

А) б)

Решение

А)

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

Б)

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:,

Тогда: или

Ответ:

4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Решение

Перепишем данное уравнение в виде

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

5. Найти решение задачи Коши

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: . Интегрируя, находим

Возвращаясь к функции у, получим

Найдём значения используя начальные условия

. Тогда

Получили систему уравнений

Тогда, окончательно:

Ответ:

6. Решить уравнение:

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: . Корни характеристического уравнения:

K1 = 1, k2 = 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = ex , y2 = e2x/

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = xex

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Ответ:

 

 
Яндекс.Метрика
Наверх