Интегральное исчисление функции одной переменной
Интегральное исчисление функции одной переменной
Задание 1: Вычислить интеграл:
А) |
Б) |
В) |
Г) |
Д) |
Е) |
Ж) |
З) |
И) |
К) |
Л) |
М) |
Н) |
О) |
П) |
Р) |
С) |
Т) |
У) |
Ф) |
А) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:
Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.
Б)
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
В)
{для нахождения интеграла применим формулу (12)}
Г)
{для нахождения интеграла применим формулу (4)}
Д)
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
Е)
{для нахождения интеграла применим формулу (5)}
Ж)
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
З)
{для нахождения интеграла применим формулу (10)}
И)
{для нахождения интеграла применим формулу (9)}
К)
{для нахождения интеграла применим формулу (3)}
Л)
{для нахождения интеграла применим формулу (7)}
Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,
Используя формулу (13):
М)
{для нахождения интеграла применим формулу (6)}
Н)
{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}
в итоге получаем
О) .
Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:
Перейдем к равенству числителей:
.
Отсюда следует, что
Тогда
Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:
{для нахождения интегралов применим формулу (3)}
П) .
Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:
Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:
Возвращаясь к исходному интегралы, получим:
{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}
Р) .
Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:
.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
Перейдем к равенству числителей:
.
Отсюда следует, что
Тогда .
Интегрируя почленно полученное равенство, получим::
{для нахождения интегралов применим формулу (3)}
С) .
Произведем замену:
Получим:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и
есть 4, поэтому введем следующую замену:
{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}
Т) .
Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований
Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:
У)
{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}
;
Ф)
{для нахождения интеграла применим формулу (7)}
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
А) |
Б) |
А) Несобственный интеграл I рода.
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
- интеграл расходится.
Б) Несобственный интеграл II рода.
является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
- интеграл сходится.
Задание 3: Вычислить:
А) площадь фигуры, ограниченной линиями: и
;
Б) длину дуги кривой:
,
В) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси
.
Решение:
А) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.
§ Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями - сверху,
- снизу, слева прямой
, справа прямой
определяется формулой
(14);
§ Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями
, определяется формулой
(15);
§ Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой и лучами
,
, определяется формулой:
(16).
В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).
Найдем координаты точек пересечения линий:
;
;
.
;
Б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.
§ Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением
длина дуги находится по формуле
(17);
§ Для кривой, заданной параметрически уравнениями
длина дуги находится по формуле
(18);
§ Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением
длина дуги находится по формуле
(19).
В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).
;
В) Пусть функция непрерывна на отрезке
. Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
, снизу
, определяется формулой:
(20).
Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми
,
,
, то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси
, по аналогии с формулой (20), равен:
(21).
В условиях нашей задачи ,
,
.
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|