Интегральное исчисление функции одной переменной |
Интегральное исчисление функции одной переменнойЗадание 1: Вычислить интеграл:
А) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования: Интегралы (б – л) решим методом замены переменной. Б) {для нахождения интеграла применим формулу (2)} В) {для нахождения интеграла применим формулу (12)} Г) {для нахождения интеграла применим формулу (4)} Д) {для нахождения интеграла применим формулу (2)} Е) {для нахождения интеграла применим формулу (5)} Ж) {для нахождения интеграла применим формулу (8)} З) {для нахождения интеграла применим формулу (10)} И) {для нахождения интеграла применим формулу (9)} К) {для нахождения интеграла применим формулу (3)} Л) {для нахождения интеграла применим формулу (7)} Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям, Используя формулу М) {для нахождения интеграла применим формулу (6)} Н) {второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)} в итоге получаем О) Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби: Перейдем к равенству числителей:
Отсюда следует, что Тогда Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим: {для нахождения интегралов применим формулу (3)} П) Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель: Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби: Возвращаясь к исходному интегралы, получим:
Р) Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: Перейдем к равенству числителей:
Отсюда следует, что Тогда Интегрируя почленно полученное равенство, получим:: {для нахождения интегралов применим формулу (3)} С) Произведем замену: Получим: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей {для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)} Т) Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим: У) {для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}
Ф) {для нахождения интеграла применим формулу (7)} Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
А) Несобственный интеграл I рода. {для нахождения интеграла применим формулу (2)}
Б) Несобственный интеграл II рода.
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
Задание 3: Вычислить: А) площадь фигуры, ограниченной линиями: Б) длину дуги кривой:
В) объем тела, полученного вращением фигуры Решение: А) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур. § Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями § § Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).
Б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. § Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением § Для кривой, заданной параметрически уравнениями § В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).
В) Пусть функция Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции В условиях нашей задачи
|