Интегральное исчисление функции одной переменной

Интегральное исчисление функции одной переменной

Задание 1: Вычислить интеграл:

Решение:

А) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:

Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.

Б)

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

В)

{для нахождения интеграла применим формулу (12)}

Г)

{для нахождения интеграла применим формулу (4)}

Д)

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

Е)

{для нахождения интеграла применим формулу (5)}

Ж)

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

З)

{для нахождения интеграла применим формулу (10)}

И)

{для нахождения интеграла применим формулу (9)}

К)

{для нахождения интеграла применим формулу (3)}

Л)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,

Используя формулу (13):

М)

{для нахождения интеграла применим формулу (6)}

Н)

{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}

в итоге получаем

О) .

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

П) .

Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:

Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:

Возвращаясь к исходному интегралы, получим:

{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}

Р) .

Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда .

Интегрируя почленно полученное равенство, получим::

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

С) .

Произведем замену:

Получим:

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и есть 4, поэтому введем следующую замену:

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}

Т) .

Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:

У)

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}

;

Ф)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Решение:

А) Несобственный интеграл I рода.

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

- интеграл расходится.

Б) Несобственный интеграл II рода.

является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

- интеграл сходится.

Задание 3: Вычислить:

А) площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;

Б) длину дуги кривой:

,

В) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси .

Решение:

А) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.

§  Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями - сверху, - снизу, слева прямой , справа прямой определяется формулой (14);

§  Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями , определяется формулой (15);

§  Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой и лучами , , определяется формулой: (16).

В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).

Найдем координаты точек пересечения линий:

; ; .

;

Б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.

§  Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле (17);

§  Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (18);

§  Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле (19).

В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).

;

В) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: (20).

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен: (21).

В условиях нашей задачи , , .

.