Интегральное исчисление 05
Билет № 4
1. Вычислить интеграл 
.
.
2. Вычислить первую производную функции 
.
Продифференцируем обе части по Х, считая У функцией от Х:
3. Определить асимптоты кривой 
.
Решение:
Область определения данной функции: 
. Тогда 
– вертикальная асимптота. Найдем наклонные или горизонтальные асимптоты:
Итак, 
– наклонная асимптота.
Ответ: – вертикальная асимптота; – наклонная асимптота.
4. Определить экстремумы функции 
Решение:
Область определения функции: 
. Тогда
.
Ищем точки, подозрительные на экстремум (в них первая производная равна 0 или не существует):
Приравняем производную к нулю:
Производная не существует при 
, но при них не определена и сама функция. Определим знак производной при переходе через критические точки:
Итак, при переходе через точку 
производная меняет знак с «+» на «–», при переходе через точку 
производная меняет знак с «–» на «+», тогда точка – точка максимума, а точка – точка минимума.
5. Написать уравнения касательных к окружности 
в точках пересечения ее с осью OY.
Решение:
Найдем точки пересечения окружности с осью OY: уравнение этой оси 
. Тогда подставим в уравнение окружности:
.
Итак, получили 2 точки: (0;1) и (0;-1).
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет вид:
.
Уравнение окружности распадается на 2:
В точке (0;1):
Получим уравнение 
.
В точке (0;-1):
Получим уравнение 
.
6. Разложить функцию 
по формуле Тейлора до 3-го порядка.
Решение:
Разложение функции в ряд до 3-го порядка по степеням 
имеет вид:
.
Вычислим значение функции и ее производных до третьего порядка при 
:
Итак, выпишем разложение:
7. Вычислить интеграл 
.
Решение:
Применим формулу интегрирования по частям
8. Вычислить предел по правилу Лопиталя 
Решение:
Пусть 
. Прологарифмируем обе части данного равенства:
.
Найдем предел данного выражения при 
по правилу Лопиталя:
Тогда
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|