Интегральное исчисление 05

Билет № 4

1. Вычислить интеграл .

Решение:

.

2. Вычислить первую производную функции .

Решение:

Продифференцируем обе части по Х, считая У функцией от Х:

3. Определить асимптоты кривой .

Решение:

Область определения данной функции: . Тогда  – вертикальная асимптота. Найдем наклонные или горизонтальные асимптоты:

Итак,  – наклонная асимптота.

Ответ:  – вертикальная асимптота;  – наклонная асимптота.

4. Определить экстремумы функции

Решение:

Область определения функции: . Тогда

.

Ищем точки, подозрительные на экстремум (в них первая производная равна 0 или не существует):

Приравняем производную к нулю:

Производная не существует при , но при них не определена и сама функция. Определим знак производной при переходе через критические точки:

Итак, при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», при переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», тогда точка  – точка максимума, а точка  – точка минимума.

5. Написать уравнения касательных к окружности в точках пересечения ее с осью OY.

Решение:

Найдем точки пересечения окружности с осью OY: уравнение этой оси . Тогда подставим в уравнение окружности:

.

Итак, получили 2 точки: (0;1) и (0;-1).

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

.

Уравнение окружности распадается на 2:

В точке (0;1):

Получим уравнение .

В точке (0;-1):

Получим уравнение .

6. Разложить функцию по формуле Тейлора до 3-го порядка.

Решение:

Разложение функции в ряд до 3-го порядка по степеням имеет вид:

.

Вычислим значение функции и ее производных до третьего порядка при :

Итак, выпишем разложение:

7. Вычислить интеграл .

Решение:

Применим формулу интегрирования по частям

8. Вычислить предел по правилу Лопиталя

Решение:

Пусть . Прологарифмируем обе части данного равенства:

.

Найдем предел данного выражения при по правилу Лопиталя:

Тогда

.