Интегральное исчисление 01

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача №6. Вычислить определенные интегралы

Воспользуемся заменой:

Задача №7. Вычислить определенные интегралы

Воспользуемся тригонометрическими тождествами:

Задача №10. Вычислить площади фигур, ограниченных графиком функций

Решение:

Построим фигуру, ограниченную заданными линиями:

Найдем координаты точек пересечения кривых:

Следовательно, искомая площадь равна:

Задача №11. Вычислить площадь фигуры, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярной системе координат.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярной системе координат вычисляется по формуле:

Функция положительна и непрерывна на отрезке . Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.

Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:

Задача №14. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах

Решение:

Длина дуги кривой, заданных уравнениями в полярных координатах, вычисляется по формуле:

Найдем производную:

Откуда:

Найдем неопределенный интеграл интегрированием по частям :

Откуда:

Задача №15. Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1-15 ось вращения ОХ, в 16-30 ось ОУ.

Решение:

Построим фигуру, ограниченную заданными линиями:

Объем тела вращения определяем по формуле:

Исследуемая фигура не ограничена справа: . Т. о. имеет место несобственный интеграл:

Задача №16. С помощью определённого интеграла решить следующие физические задачи.

16.10. Какую работу надо произвести, чтобы поднять тело весом Р Н на высоту Н м от поверхности земли?

Решение:

Работа, совершаемая при перемещении тела весом Р равна:

Задача №18. Вычислить с точностью определенные интегралы с помощью ЭВМ.

Решение:

Воспользуемся разложением в ряд функции

Данный ряд сходится при m > 0 на интервале . Функция cos на указанном промежутке существует, определена и непрерывна. Т. о.

Интегрируем обе части:

Для достижения требуемой точности будем брать те слагаемые, модуль которых больше заданной точности

Как можно видеть при нахождении интегралов значащим является только первое слагаемое, не содержащее синус. Все остальные слагаемые при х и = 0 обращаются в 0. Поэтому для сокращения записей будем использовать только первое слагаемое вида . Вычисления интегралов вида выполняем с использованием программы wolfram.

Результаты вычислений приводим в таблице:

Максимальная степень вычисляемая программой Wolfram :

Однако требуемая точность не достигнута.

Приближенное значение интеграла на полученных результатах равна:

2,18481

Яндекс.Метрика