Геометрический метод решения игр

Решение игры в смешанных стратегиях допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Геометрический метод решения игры включает следующие этапы.

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок А1А2, длина которого равна 1 (рис. 2.1.). Левый конец отрезка точка x = 0 соответствует стратегии A1, правый, где х = 1,0 — стратегии А2. Все промежуточные точки этого отрезка соответствуют смешанным стратегиям S1 = (p1, p2).

2. По оси ординат от точки O откладываются выигрыши при стратегии А1.

3. На линии, параллельной оси ординат, от точки 1 откладываются выигрыши при стратегии А2 .

Пусть имеется игра с платежной матрицей:

.

Если игрок II применяет стратегию В1, то выигрыш игрока I при использовании чистых стратегий А1 и А2 составляет соответственно a11 = 0,4 и a21 = 0,6. Соединим эти точки прямой В1В1 .

Если игрок I при стратегии В1 применяет смешанную стратегию , то средний выигрыш, определяемый по формуле математического ожидания g1 = a11p1 + a21p2, изображается ординатой точки N на прямой B1B1. Прямая B1B1 называется стратегией В1. Ордината любой точки отрезка B1B1 равна величине выигрыша игрока I при применении им стратегии A1 и А2 с соответствующими вероятностями p1 и p2.

Аналогично строим отрезок В2В2, соответствующий применению игроком II стратегии В2 .

Ординаты точек отрезка определяют средний стратегий А1 и А2 с соответствующими вероятностями p1 и p2 и равных g2 = a12p1 + a22p2.

Пример № 1. Найти оптимальную смешанную стратегию руководителя коммерческого предприятия и гарантированный средний выигрыш При выборе из двух новых технологий продажи товаров И , если известны выигрыши каждого вида продажи по сравнению со старой технологией, которые представлены в виде матрицы игры.

Игрок II Игрок I
	0,4	0,9	0,4
	0,6	0,5	0,5
	0,6	0,9

Решение: находим гарантированный выигрыш определяемый нижней ценой игры Которая указывает на максиминную чистую стратегию . Верхняя цена игры что свидетельствует об отсутствии седловой точки, т. к. , тогда цена игры находиться в пределах находим решение игры в смешанных стратегиях геометрическим методам рис. 2.1.

Рис. 2.1. Геометрический метод решения игры

Оптимальная смешанная стратегия и цена игры ровны.

Гарантированный средний выигрыш составляет 0,57.

< Предыдущая		Следующая >