1. Является ли функционал, линейным непрерывным и если да, то найти его норму.
Решение:
Замечание: Интеграл, стоящий в определении функционала, может быть несобственным, т. к. точка входит в отрезок . Для корректности поставленной задачи, будем считать, что функционал Действует из подпространства , где .
. Получили линейность.
Оценим норму, одновременно докажем ограниченность функционала (следовательно, его непрерывность):
, здесь применили интегральную форму неравенства Коши-Буняковского. Вычисляя интеграл и применяя выражение для нормы пространства : , получим , этим мы получили оценку для модуля функционала и доказательство ограниченности нашего функционала. Из формулы для выражения нормы функционала: Получим .
Теперь, положим 
Вычислим А так как 
Получим 
2. Является ли функционал линейным непрерывным и если да, то найти его норму.
Решение: Будем считать что функционал действует из .
Функционал не является линейным. Пример: 

Тем самым доказано, что Получили ограниченность функционала. Положим , тогда отсюда 
3. Доказать, что оператор является линейным ограниченным оператором и оценить его норму.
Решение:
Доказали линейность.

4. Найти обратный оператор к оператору . Оценить норму .
Решение: Положим получим задачу Коши:

Решая однородное уравнение , найдем .
Согласно методу Лагранжа, решение задачи Коши ищем в виде:
. Где неизвестные функции найдем из системы:
, подставляя , получим систему:
, решая, получим

Где Неизвестные постоянные. Подставляя найденные :

,т. к. .
Для определения получим систему:
.
Решение задачи Коши:

Так как 

Оценим норму обратного оператора:

5. Найти сопряженный оператор к оператору 
Решение:
Из общего вида линейного функционала в :
.
Так как общий вид линейного функционала представляет собой скалярное произведение в .

Итак:
Это значит, что , т. е. оператор самосопряженный.
6. Является ли оператор вполне непрерывным?
Решение:
Возьмем ограниченное множество . Оператор переводит множество В множество . Если это множество было бы равностепенно непрерывным множеством, то , такое что Удовлетворяющих условию
для . (1)
Но это невозможно, т. к. если взять а - подобрать так, чтобы выполнялось условие , то , и выбирая , число можно сделать большим, например, чем 0,5. Это противоречит с (1).
Следовательно, множество не является равностепенно непрерывным и, по теореме Арцела, не является относительно компактным множеством. Значит не может быть вполне непрерывным оператором.
|