Функциональный анализ

1. Является ли функционал, линейным непрерывным и если да, то найти его норму.

Решение:

Замечание: Интеграл, стоящий в определении функционала, может быть несобственным, т. к. точка входит в отрезок . Для корректности поставленной задачи, будем считать, что функционал Действует из подпространства , где .

. Получили линейность.

Оценим норму, одновременно докажем ограниченность функционала (следовательно, его непрерывность):

, здесь применили интегральную форму неравенства Коши-Буняковского. Вычисляя интеграл и применяя выражение для нормы пространства :, получим , этим мы получили оценку для модуля функционала и доказательство ограниченности нашего функционала. Из формулы для выражения нормы функционала:Получим .

Теперь, положим

Вычислим А так как

Получим

2. Является ли функционал линейным непрерывным и если да, то найти его норму.

Решение: Будем считать что функционал действует из .

Функционал не является линейным. Пример:

Тем самым доказано, что Получили ограниченность функционала. Положим , тогда отсюда

3. Доказать, что оператор является линейным ограниченным оператором и оценить его норму.

Решение:

Доказали линейность.

4. Найти обратный оператор к оператору . Оценить норму .

Решение: Положим получим задачу Коши:

Решая однородное уравнение , найдем .

Согласно методу Лагранжа, решение задачи Коши ищем в виде:

. Где неизвестные функции найдем из системы:

, подставляя , получим систему:

, решая, получим

Где Неизвестные постоянные. Подставляя найденные :

,т. к. .

Для определения получим систему:

.

Решение задачи Коши:

Так как

Оценим норму обратного оператора:

5. Найти сопряженный оператор к оператору

Решение:

Из общего вида линейного функционала в :

.

Так как общий вид линейного функционала представляет собой скалярное произведение в .

Итак:

Это значит, что , т. е. оператор самосопряженный.

6. Является ли оператор вполне непрерывным?

Решение:

Возьмем ограниченное множество . Оператор переводит множество В множество . Если это множество было бы равностепенно непрерывным множеством, то , такое чтоУдовлетворяющих условию

для . (1)

Но это невозможно, т. к. если взять а - подобрать так, чтобы выполнялось условие , то , и выбирая , число можно сделать большим, например, чем 0,5. Это противоречит с (1).

Следовательно, множество не является равностепенно непрерывным и, по теореме Арцела, не является относительно компактным множеством. Значит не может быть вполне непрерывным оператором.