Функциональный анализ
1. Является ли функционал, линейным непрерывным и если да, то найти его норму.
Замечание: Интеграл, стоящий в определении функционала, может быть несобственным, т. к. точка входит в отрезок
. Для корректности поставленной задачи, будем считать, что функционал
Действует из подпространства
, где
.
.
Получили линейность.
Оценим норму, одновременно докажем ограниченность функционала (следовательно, его непрерывность):
, здесь применили интегральную форму неравенства Коши-Буняковского. Вычисляя интеграл
и применяя выражение для нормы пространства
:
, получим
, этим мы получили оценку для модуля функционала и доказательство ограниченности нашего функционала. Из формулы для выражения нормы функционала:
Получим
.
Теперь, положим
Вычислим А так как
Получим
2. Является ли функционал линейным непрерывным и если да, то найти его норму.
Решение: Будем считать что функционал действует из .
Функционал не является линейным. Пример:
Тем самым доказано, что
Получили ограниченность функционала. Положим
,
тогда
отсюда
3. Доказать, что оператор является линейным ограниченным оператором и оценить его норму.
Решение:
Доказали линейность.
4. Найти обратный оператор к оператору . Оценить норму
.
Решение: Положим получим задачу Коши:
Решая однородное уравнение , найдем
.
Согласно методу Лагранжа, решение задачи Коши ищем в виде:
. Где неизвестные функции
найдем из системы:
, подставляя
, получим систему:
, решая, получим
Где Неизвестные постоянные. Подставляя найденные
:
,т. к.
.
Для определения получим систему:
.
Решение задачи Коши:
Так как
Оценим норму обратного оператора:
5. Найти сопряженный оператор к оператору
Решение:
Из общего вида линейного функционала в :
.
Так как общий вид линейного функционала представляет собой скалярное произведение в .
Итак:
Это значит, что
, т. е. оператор самосопряженный.
6. Является ли оператор вполне непрерывным?
Решение:
Возьмем ограниченное множество . Оператор
переводит множество
В множество
. Если это множество было бы равностепенно непрерывным множеством, то
, такое что
Удовлетворяющих условию
для
. (1)
Но это невозможно, т. к. если взять а
- подобрать так, чтобы выполнялось условие
, то
, и выбирая
, число
можно сделать большим, например, чем 0,5. Это противоречит с (1).
Следовательно, множество не является равностепенно непрерывным и, по теореме Арцела, не является относительно компактным множеством. Значит
не может быть вполне непрерывным оператором.
< Предыдущая | Следующая > |
---|