Элементы теории вероятностей
Контрольная работа № 5. Элементы теории вероятностей.
5.1. В коробке находится 4 синих, 5 красных и 5 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 10 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет 3 синих и 3 красных карандашей.
В коробке всего 4+5+5=14 карандашей. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три синих карандаша из 4 можно выбрать
способами, три красных карандаша из 5 можно выбрать
способами, оставшиеся четыре зеленых из 5 –
способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию А, будет
.
По формуле находим искомую вероятность
.
Ответ:
5.2. На склад поступили 2 ящика, в которых содержится по 20 годных деталей и 4 бракованных и 2 ящика, в которых содержится по 40 годных деталей и 6 бракованных. Наудачу выбирается ящик и из него наудачу извлекается деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь является годной.
Событие А – вынутая деталь является годной.
Возможны следующие гипотезы:
– выбран ящик, в котором 20 годных деталей и 4 бракованных
– выбран ящик, в котором 40 годных деталей и 6 бракованных.
Вероятности гипотез равны: .
Условные вероятности события А при этих гипотезах равны: ,
.
По формуле полной вероятности
.
Ответ:
5.3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производится 6 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.
Решение
Поскольку , то
. По условию
,
Вероятность того, что стрелок промахнется не более двух раз равна вероятности того, что стрелок попадёт 6, 5 или 4 раза. То есть , по формуле Бернулли найдём
.
Используя правило сложения вероятностей независимых событий найдём искомую вероятность:
Ответ:
5.4. Ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
0,2 |
0,1 |
0,2 |
|
|
Найти вероятности , если математическое ожидание
. Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения
и построить ее график. Вычислить дисперсию
и среднее квадратическое отклонение.
Решение
Сумма вероятностей ряда распределения . В нашем случае:
.
Математическое ожидание находится по формуле , в нашем случае
.
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения и
:
,
Решая которую находим .
Тогда ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
Построим многоугольник распределения, для этого в прямоугольной системе координат строим точки ,
,
,
,
, затем соединяем эти точки отрезками прямых. Ломаная
является многоугольником распределения данной случайной величины.
Для нахождения функции распределения ДСВ Х используем формулу
:
При ,
При ,
При ,
При при
при
Итак,
.
График функции распределения :
Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле , в нашем случае
Среднее квадратическое отклонение находится по формуле
, в нашем случае
.
5.5. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид: .
Найти: а) параметр А;
Б) функцию распределения ;
В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;
Г) математическое ожидание и дисперсию
.
Решение
Для определения значения А воспользуемся условием . Вычислим интеграл
,
Плотность распределения случайной величины Х примет вид
Для того, чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой
.
При получаем
,
При находим
При
:
.
Таким образом, искомая функция распределения имеет вид
Вероятность попадания СВ Х в интервал найдем по формуле
, она будет равна
.
Математическое ожидание находим по формуле :
Дисперсию найдем по формуле
:
,
Тогда .
< Предыдущая | Следующая > |
---|