Элементы теории вероятностей

Контрольная работа № 5. Элементы теории вероятностей.

5.1.  В коробке находится 4 синих, 5 красных и 5 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 10 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет 3 синих и 3 красных карандашей.

Решение

В коробке всего 4+5+5=14 карандашей. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три синих карандаша из 4 можно выбрать способами, три красных карандаша из 5 можно выбрать способами, оставшиеся четыре зеленых из 5 – способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию А, будет .

По формуле находим искомую вероятность

.

Ответ:

5.2.  На склад поступили 2 ящика, в которых содержится по 20 годных деталей и 4 бракованных и 2 ящика, в которых содержится по 40 годных деталей и 6 бракованных. Наудачу выбирается ящик и из него наудачу извлекается деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь является годной.

Решение

Событие А – вынутая деталь является годной.

Возможны следующие гипотезы:

– выбран ящик, в котором 20 годных деталей и 4 бракованных

– выбран ящик, в котором 40 годных деталей и 6 бракованных.

Вероятности гипотез равны: .

Условные вероятности события А при этих гипотезах равны: , .

По формуле полной вероятности

.

Ответ:

5.3.  Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производится 6 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Решение

Поскольку , то . По условию ,

Вероятность того, что стрелок промахнется не более двух раз равна вероятности того, что стрелок попадёт 6, 5 или 4 раза. То есть , по формуле Бернулли найдём

.

Используя правило сложения вероятностей независимых событий найдём искомую вероятность:

Ответ:

5.4.  Ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятности , если математическое ожидание . Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

Сумма вероятностей ряда распределения . В нашем случае: .

Математическое ожидание находится по формуле , в нашем случае

.

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения и : ,

Решая которую находим .

Тогда ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

Построим многоугольник распределения, для этого в прямоугольной системе координат строим точки , , , , , затем соединяем эти точки отрезками прямых. Ломаная является многоугольником распределения данной случайной величины.

Для нахождения функции распределения ДСВ Х используем формулу :

При ,

При ,

При ,

При при при Итак,

.

График функции распределения :

Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле , в нашем случае

Среднее квадратическое отклонение находится по формуле , в нашем случае .

5.5.  Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид: .

Найти: а) параметр А;

Б) функцию распределения ;

В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

Г) математическое ожидание и дисперсию .

Решение

Для определения значения А воспользуемся условием . Вычислим интеграл

,

Плотность распределения случайной величины Х примет вид

Для того, чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой .

При получаем ,

При находим

При : .

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

Вероятность попадания СВ Х в интервал найдем по формуле , она будет равна

.

Математическое ожидание находим по формуле :

Дисперсию найдем по формуле :

,

Тогда .