Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, графики, матрицы, пределы, мнк
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Задания 1-10. Даны координаты точек: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3).
Значения координат точек приведены в таблице к этому заданию.
Найти:
А) длину отрезка АВ;
Б) уравнение прямых АВ и ВС, проведенных через точки А, В и В, С соответственно;
В) угол θ между прямыми АВ и ВС;
Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;
Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
Е) построить чертеж, на котором показать заданные точки, угол θ и прямые.
А(-1;4), B(11;-5), C(15;17)
Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi
Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 11--1 = 12; Y = -5-4 = -9
AB(12;-9)
А) длина отрезка АВ
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
Б) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
В) угол θ между прямыми АВ и ВС;
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами BA и BC
γ = arccos(0.45) = 63.440
Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(15;17) и прямой AB (4y + 3x - 13 = 0)
Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой
Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
4y + 3x - 13 = 0
3y -4x +9 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем: x = 3, y = 1
Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
Уравнение прямой, проходящей через данную точку С(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, y - y1 = k(x - x1).
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку С(x1, y1), которая называется центром пучка. А k - это коэффициент при х уравнения прямой АВ
Тогда получим
Е) построим чертеж
Задания 11-20. Решить систему уравнений двумя способами (по формулам Крамера и методом Гаусса)
№12.
По формулам Крамера.
Запишем систему в виде:
Главный определитель:
∆ = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-2 • (2 • (-2)-1 • (-3))+4 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = -35 = -35
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-(-7 • (2 • (-2)-1 • (-3)))+0 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = 1 • (-7 • (-2)-0 • (-1))-2 • (1 • (-2)-0 • (-3))+4 • (1 • (-1)-(-7 • (-3))) = -70
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = 1 • (-3 • 0-1 • (-7))-2 • (2 • 0-1 • 1)+4 • (2 • (-7)-(-3 • 1)) = -35
Выпишем отдельно найденные переменные: , ,
Методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
Z = -5/(-5)
Y = -14/(-7)
X = [0 - (x2 - 2x3)]/4
Из 1-ой строки выражаем z:
Из 2-ой строки выражаем у:
Из 3-ой строки выражаем x:
Введение в математический анализ.
Производная и ее приложения.
Задания 21-30. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
№22. а) ;б) ;в);г);д)
Решение
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) ;
Использовали при
Д)
Задания 31-40. Задана функция y=ƒ(x). Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
№32.
Решение
Построим график данной функции:
Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.
Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .
Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,
, . Так как , Следовательно функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.
, . Так как , то в этой точке функция в этой точке непрерывна
Задания 41-50. Найти производные первого порядка y'= функций:
№42. а); б) ; в) ;
Д) ,
Решение
А) ;
Б) ;
Дифференцируем обе части равенства по х:
Разрешаем равенство относительно :
, тогда
Окончательно:
В) ;
Прологарифмируем данную функцию:
Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.
Отсюда:
Д) ,
Находим и
Отсюда
Задания 51-60. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
№52.
Решение
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:
, ,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
№Задания 61-70. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. На основании результатов исследований построить график функции.
№62. ;
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Полученное решение отметим на рисунке.
Точки пересечения с осью : нет
, , - нет решений.
Точки пересечения с осью у:
Пусть х=0:
Вертикальные асимптоты: х=3
Х-3=0, х=3
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: у=2х.
Предел разности исходной функции и функции 2х на бесконечности равен нулю.
Первая производная:
==
Критические точки: х=1, х=5
Случай.
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
, , х-3=2, х=5
Случай .
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
, , , х=1
Вторая производная:
Возможные точки перегиба: нет
Точки разрыва: х=3
Симметрия относительно оси ординат: нет
Симметрия относительно начала координат: нет
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Относительный минимум . Относительный максимум .
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции:
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет
Интегральное исчисление
Задания 71-80. Найти интегралы.
№72. а) ; б) ; в) ; г) ;
Решение
А) ;
Б) ;
В) ;
Г)
Задания 81-90. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость
№82. ;
Решение
Задания 91-100. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать рисунок.
№92. и ;
Решение
Сделаем рисунок:
Данные линии ограничивают две одинаковые по площади фигуры.
Тогда будем искать площадь одной части. Имеем
По формуле . В нашем случае
Тогда
Ответ: кв. ед.
Функции нескольких переменных
Задания 101-110. Исследовать на экстремум функцию.
№102. ;
Решение
Необходимое условие существования єкстремума
, - критические точки, подозрительные на экстремум.
Используем достаточные условия экстремума
Найдем
Для точки , - экстремум есть, а так как то в т. - минимум
Для точки , - экстремума нет.
Задания 111-120. Экспериментально получены значения функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Предполагая, что между и имеется линейная зависимость, методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу (вычислить параметры и )
Решение
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений метода наименьших квадратов:
A0n + a1∑t = ∑y
A0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Составим таблицу:
Для наших данных система уравнений имеет вид:
5a0 + 10a1 = 15
10a0 + 30a1 = 32.5
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 0.25, a1 = 2.5
Уравнение тренда: y = 0.25 t + 2.5
< Предыдущая | Следующая > |
---|