logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Элементы линейной алгебры 01

Перед выполнением контрольной работы № 1 необходимо изучить и закрепить с помощью примеров для самостоятельной работы такие разделы и понятия как определители и их свойства; способы вычисления определителей второго и третьего порядков; алгебраические дополнения элемента определителя; вычисление определителей 4-го и более высоких порядков с помощью свойств определителя; матрицы и основные операции над ними, понятие обратной матрицы; элементарные преобразования над элементами строк (столбцов) матрицы; ранг матрицы и способы его вычисления; теорема Кронекера - Капелли; методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Задание 1.

Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам I-ой строки; б) разложив его по элементам J-го столбца; в) получив предварительно нули в I-ой строки.

I = 1, J = 2

Решение: 1. Находим миноры к элементам и . Миноры являются определителями третьего порядка, которые могут быть вычислены, например, по правилу треугольника (правилу Саррюсса).

Алгебраические дополнения элементов и соответственно равны:

2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

Б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

В) Вычисли определитель , Получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель Не ИЗмеНиТся, ЕСлИ ко всЕМ эЛеМентам кАКой-либо строки (столбца) прибавить СоотВЕтстВУющие эЛеМЕНтЫ другой строки (столбца), умноженНЫе на одно И то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом опредЕЛитель по элемЕНтам первой строки и вычислим его:

В опрЕДЕЛитЕЛе трЕТьЕГо порядка получили нули в ПеРвом столбце по тому же свойству определителей.

Ответ: ,

Задание 2.

Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ; г) .

Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле

.

В результате применения этой формулы, получим:

Б) Вычислим произведение матриц BA:

ОчЕВидНО, что , т. е. переместительное свойство умножений матриц не выполняется.

В) Обратная матрица матрицы А имеет виД

Где ,

Т. е. матрица A - Невырожденная, и, значит, существуЕТ матрица .

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A:

Тогда обратная матрица

;

Г) Найдем произведение матрицы A и (тем самым можем убедиться, что обратная матрица найдена верно), используя формулу записанную в пункте а):

Ответ: а), б) ,

В) .

Задание 3 (1).

Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

Данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

.

Так как , то по теореме Кронеккера-Капелли система совместна. Так как , то есть ранг системы равен числу неизвестных, то исходная система имеет единственное решение.

А) Найдем решение системы по формулам Крамера

,

Где определитель системы , составленный из коэффициентов уравнений системы при неизвестных,

,

И определители , полученные из определителя заменой первого, второго и третьего столбцов соответственно на столбик свободных членов

,

,

,

Тогда .

Б) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы применяя "обратный ход" находим .

Проверим найденное решение. Для этого подставим значения неизвестных в уравнения исходной системы

Получили верные равенства.

Ответ: .

Задание 3 (2).

Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение: ПровЕРяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера - Капелли. В расширенной матрице

МЕНяЕМ трЕТий и первыЙ столбцы мЕСтамИ, умножаем пЕРвую строку на 3 и прибавляЕМ ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей, ИЗ второй строки вычИТаЕМ третью:

.

Теперь ясНО, что и . СОгЛАсно Теореме Кронекера - Капелли, из того, что следует НеСовместность ИСходнОЙ системы.

Ответ: система не совместна.

Задание 4(1).

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение: ОпрЕДЕЛитЕЛь сИСтемы

,

Поэтому система ИМЕЕт единственное нулевое (тривиальное) решенИЕ:

Ответ: .

Задание 4(2).

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение: Первый способ. Так как определитель системы

,

То однородная система ИМЕЕт бЕСчисленное множество решений. Поскольку (показать самостоятельно или привести обоснование этому утверждению) и , то возьмем первые два уравнения системы и найдем ее рЕШение, считая переменную свободной переменной, то есть некоторой произвольной постоянной. ИмЕеМ:

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен нулю, то в качестве базисных нЕИзвестных ВОзьмЕМ и (хотя можно брать и другие пары нЕИзвЕСтных) И ПеРЕМЕСтим члЕНы с в правые частИ УравнЕНИЙ:

РЕШаЕМ пОСлЕдНюю систЕМу по формулам КрамЕРа :

Где

,

,

.

Отсюда находим, что Полагая , где K—Произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной сИСтЕМы: , , .

Решение: Второй способ. Найдем ранг матрицы A системы.

Для этого в матрице A переставим местами первую и вторую строку. Умножив первую строку на (-3), сложим ее со второй строкой. Умножив первую строку на (-4), сложим ее с третьей строкой. Далее умножим вторую строку на (-1) и сложим ее с третьей строкой. Вычеркиваем третью строку состоящую из нулевых элементов.

Отсюда получаем: . Число неизвестных . Так как , то исходная однородная система является неопределенной, то есть кроме тривиального имеет и другие решения.

Используя матрицу полученную на последнем шаге нахождения ранга матрицы, запишем систему, соответствующую этой матрице.

Для нахождения решений полученной системы и соответственно исходной системы разобьем переменные на базисные (основные) и свободные (не основные). Число основных переменных равно рангу матрицы системы , то есть их будет две. В качестве базисных переменных выбираем первые две переменные записанной выше системы. Таким образом, в качестве базисных переменных выбираем переменные и . Число свободных переменных равно . В нашем случае это оставшаяся переменная .

Выразим базисные переменные через свободные, считая свободную переменную произвольной постоянной. Для этого в начале из второго уравнения выразим переменную через .

,

,

.

Подставим переменную в первое уравнение системы и выразим из него вторую базисную переменную через свободную переменную .

Таким образом, Аналогично как и в первом способе, полагая , где K – произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной системы: , , .

Проверим найденное решение. Для этого подставим значения неизвестных в уравнения исходной системы

Получили верные равенства.

Ответ: .

 
Яндекс.Метрика
Наверх