Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры.

Задача 1. Затраты трех видов сырья (А, В,С) на производство единицы каждого из трех типов продукции (I, II, III) и запасы каждо­го типа сырья даны в таблице:

Вид сырья	Тип продукции I II III	Запасы сырья
А	7	0	5	220
В	2	3	2	140
С	5	1	1	100

Определить план производства, обеспечивающий использование все­го сырья. Составить математическую модель задачи и решить сис­тему матричным методом.

Решение. Пусть предприятие выпустит x1 единиц - продукции I, х2 единиц - продукции II, хз единиц - продукции III.

7x1+0∙x2+5∙хз - расход сырья А на все виды продукции. По условию задачи расход сырья А должен равняться запасу 220, т. е. 7x1+5x3=220. Аналогично, приравнивая расходы и запасы сырья В и С, получаем сис­тему уравнений

. Обозначим X = -матрица объемов выпуска I, II, III типов продукции.

А = - матрица затрат ресурсов, А0 = - матрица запасов ресурсов.

Систему уравнений можно представить в матрич­ном виде:

А ∙ X = А0, Х = А-1 ∙ А0, (7)

где А-1- обратная матрица к квадратной матрице А =

Формула для вычисления обратной матрицы

А--1= (8)

- определитель матрицы А, который вычисляется по формуле

|А|= а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а13а22а31-а12а21а33-а23а32а11 (9)

= = 21 + 10 + 0 - 75 - 14 - 0 = -58 0.

Т. к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица A-1. Аij называется алгебраическим дополнением к элементу и равно

Aij = (-1)1+jМ (10)

Минор элемента aij - это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца.

Отсюда А-1 = -

Согласно формуле (7) Х = А-1A0

получили x1=10 х2=20 х3=30.

Задача 2.

Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А, В,С для каждого из 3-х видов услуг:

1 – технического обслуживания;

2 – транспортные услуги;

3 – капитальный ремонт - заданы векторами: d1(a1,b1,c1); d2(a2,b2,c2); d3(a3,b3,c3); Полные затраты на выполнение каждого из 3-х видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3). Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги.

Составить математическую модель задачи.

Решить а) матричным методом;

б) методом Крамера.

Х – число часов использования оборудования А;

У – число часов использования оборудования В;

Z – число часов использования оборудования С.

Решение системы уравнений матричным способом приведено в задаче 3.

Решим систему уравнений методом Крамера.

Обозначим

, , , , , , .

, , .

< Предыдущая		Следующая >