Элементы аналитической геометрии |
«Элементы аналитической геометрии»Задание 1.Даны векторы А) вычислить смешанное произведение трех векторов A, B, 5C; Б) найти модуль векторного произведения векторов 3C, B; В) вычислить скалярное произведение двух векторов A, 3B; Г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора A, B; Д) проверить, будут ли компланарны три вектора A, B, C. А) Так как Б) Поскольку
В) Находим: Г) Так как Д) векторы A, B, C компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, т. е.
Т. е. векторы A, B, C не компланарны. Ответ: а) Г) векторы Задание 2.Даны вершины треугольника А) уравнение стороны АВ; Б) уравнение высоты СН; В) уравнение медианы АМ; Г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН; Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB; Е) расстояние от точки C до прямой AB. Построить все точки и линии, данные в задаче и полученные в ходе решения задачи. А) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки
Получим уравнение стороны АВ:
Откуда
Б) Используя уравнение прямой Найдем угловой коэффициент прямой АВ Тогда Используя уравнение прямой проходящее через точку с угловым коэффициентом Составим уравнение высоты СН. По точке С(2, 7) и угловому коэффициенту
В) По формулам координат середины отрезка Находим координаты Х, у середины М отрезка ВС:
Теперь по двум известным точкам A и М составляем уравнение медианы AM:
Г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений Решая ее, получаем Д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны
По точке С и угловому коэффициенту
Е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле:
Тогда
Построим координаты вершин треугольника, все точки и прямые найденные при решении данной задачи в прямоугольной системе координат (рис. 1). Ответы: а) стороны АВ б) высоты СН в) медианы AM г) д) прямой CD е) Задание 3.Составить канонические уравнения: А) эллипса; большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке F( Б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом F(- В) параболы, имеющей директрису X = - 3. Т. е. D: X = - 3. Где F - фокус, A - большая (действительная) полуось, B - малая (мнимая) полуось, D - директриса кривой. Решение: А) Каноническое уравнение эллипса имеет вид По условию задачи большая полуось Б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид По условию мнимая полуось В) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид
А уравнение ее директрисы Ответ: а). б). в). 1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Под ред. Проф. Кремера Н. Ш. – М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с. 2. Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа. 1996. - 479 с. 3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. - М.: Высш. шк., 1986. 4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1986. 5. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Высшая школа, 1982. 6. Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. - М.: Высш. шк., 1986.
|