Элементы аналитической геометрии

«Элементы аналитической геометрии»

Задание 1.

Даны векторы . Необходимо:

А) вычислить смешанное произведение трех векторов A, B, 5C;

Б) найти модуль векторного произведения векторов 3C, B;

В) вычислить скалярное произведение двух векторов A, 3B;

Г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора A, B;

Д) проверить, будут ли компланарны три вектора A, B, C.

Решение:

А) Так как , то

Б) Поскольку , то

.

В) Находим:

Г) Так как и , то векторы и не коллинеарны. Поскольку , то векторы и не ортогональны;

Д) векторы A, B, C компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, т. е. . Вычисляем

,

Т. е. векторы A, B, C не компланарны.

Ответ: а) ; б) ; в) ;

Г) векторы и не коллинеарны и не ортогональны; д) векторы A, B, C не компланарны.

Задание 2.

Даны вершины треугольника . Найти:

А) уравнение стороны АВ;

Б) уравнение высоты СН;

В) уравнение медианы АМ;

Г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;

Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

Е) расстояние от точки C до прямой AB.

Построить все точки и линии, данные в задаче и полученные в ходе решения задачи.

Решение:

А) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки

,

Получим уравнение стороны АВ:

.

Откуда

или .

Б) Используя уравнение прямой

Найдем угловой коэффициент прямой АВ

Тогда . С учетом условия перпендикулярности прямых АВ и СН () угловой коэффициент высоты СН: .

Используя уравнение прямой проходящее через точку с угловым коэффициентом

Составим уравнение высоты СН. По точке С(2, 7) и угловому коэффициенту составляем уравнение высоты СН :

или .

В) По формулам координат середины отрезка

Находим координаты Х, у середины М отрезка ВС:

.

Теперь по двум известным точкам A и М составляем уравнение медианы AM:

или .

Г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений

Решая ее, получаем ;

Д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны . Тогда, согласно уравнению

,

По точке С и угловому коэффициенту составляем уравнение прямой CD:

или .

Е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле:

.

Тогда

.

Построим координаты вершин треугольника, все точки и прямые найденные при решении данной задачи в прямоугольной системе координат (рис. 1).

Ответы: а) стороны АВ ,

б) высоты СН ,

в) медианы AM ,

г) ,

д) прямой CD ,

е) .

Задание 3.

Составить канонические уравнения:

А) эллипса; большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке F(, 0). Т. е. A = 3, F(, 0).

Б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом F(-, 0). Т. е. B = 2, F(-, 0).

В) параболы, имеющей директрису X = - 3. Т. е. D: X = - 3.

Где F - фокус, A - большая (действительная) полуось, B - малая (мнимая) полуось, D - директриса кривой.

Решение:

А) Каноническое уравнение эллипса имеет вид

По условию задачи большая полуось . Для эллипса выполняется равенство . Подставив в него значения и , найдем . Тогда искомое уравнение эллипса

Б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию мнимая полуось . Для гиперболы справедливо равенство . Поэтому . Записываем искомое уравнение гиперболы:

В) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид

,

А уравнение ее директрисы . Но по условию задачи уравнение директрисы . Поэтому и искомое каноническое уравнение параболы имеет вид

Ответ: а).

б).

в).

Литература

Основная литература

1.   Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Под ред. Проф. Кремера Н. Ш. – М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.

2.   Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа. 1996. - 479 с.

3.   Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. - М.: Высш. шк., 1986.

4.   Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1986.

Дополнительная литература

5.   Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Высшая школа, 1982.

6.   Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. - М.: Высш. шк., 1986.