Двойные интегралы, векторные поля 02

Изобразим данную область

Найдём точки пересечения данных линий:

Расставим пределы интегрирования:

Внутренний интеграл по dx, внешний по dy:

Из уравнения

Тогда , получим

Внутренний интеграл по dy, внешний по dx:

Из уравнения

Тогда , получим

Изобразим данную пластинку:

По формуле

Тогда, , , получим

Ответ:

Решение

Изобразим данную пластину

Перейдем к полярным координатам

Уравнение окружности в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах

Находим статический момент

Ответ:

Решение

Изобразим данные поверхности:

По формулам

Перейдем к цилиндрическим координатам , тогда ,

В нашем случае

Ответ: Искомая точка координат центра масс:

Решение

Изобразим данное тело:

Момент инерции относительно оси ОX найдём по формуле

Перейдем к цилиндрическим координатам , тогда ,

В нашем случае

Решение

Изобразим данное тело:

Линия пересечения данных поверхностей:

Тогда, по формуле Получим

Тело симметрично относительно плоскости YОZ и XOZ. Поэтому

Поскольку область интегрирования S четвёртая часть круга, то целесобразно перейти к полярным координатам . Тогда ,

куб. ед.

Ответ: куб. ед.

Решение

Изобразим данный контур

По формуле Грина

Тогда

Найдём теперь значение криволинейного интеграла непосредственно по контуру прямоугольника

На АВ: , ,

На BC: , , x от 2 до -2

На CA: , , х от -2 до 0

Тогда

Ответ:

Решение

Изобразим данные поверхности:

Проекция на плоскость ХОУ

Применим формулу Остроградского-Гаусса

По формуле Остроградского имеем

Ответ:

Решение

Решение

. Тогда получим

Ответ:

Решение

Дивергенция

Поле не соленоидальное

Ротор

- поле безвихревое, а следовательно, и потенциальное.

Найдём потенциал данного поля

Поскольку поле потенциально, то его потенциал можно найти по формуле

Где в качестве пути интегрирования возьмём ломаную ОАВМ, состоящую из отрезков прямых, параллельных координатным осям

Таким образом,

< Предыдущая		Следующая >