logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Двойные интегралы, векторные поля

Вариант 13

Вычислить криволинейные интегралы:

1. , где - отрезок прямой ОВ; О(0;0;0); В(-2;4;5)

Решение

Сначала составим уравнение прямой OB.


  Введем параметр T: и перепишем уравнение прямой в параметрической форме:

  Далее применяем формулу

Очевидно, что параметр T изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен

Ответ:

2. , где - дуга кривой ,

Решение

Так как кривая L задана в полярной системе координат, то для вычисления криволинейного интеграла следует использовать формулу

 .

В силу того, что

,

Имеем

 

Ответ:

3. , где - окружность .

Решение

Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид

Для вычисления интеграла применим формулу .

Так как

то

Ответ:

4. , где - верхняя половина эллипса ., «пробегаемая» по ходу часовой стрелки.

Решение

По формуле

.

Имеем

, , ,, , , , .

Тогда

.

Ответ:

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию . .

Решение

P(X;Y)= , Q(X;Y)=, = , = =.

Так как P, Q, , непрерывны и =, то данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F(X;Y) и

В качестве (X0;Y0) можно брать любую точку из области непрерывности функций P, Q, , , поэтому возьмем (0;0).

Ответ:

6. Вычислить массу отрезка прямой , заключённого между координатными осями, если линейная плотность в каждой его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке равна 4.

Решение

Так как линейная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке равна 4, то

По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой .

Так как то

Ответ:

1. Дана функция и точки , . Вычислить: 1) производную этой функции в точке по направлению ; 2)

Решение

Найдём направляющие косинусы вектора . Его длина . Следовательно , ,

Вычисляем частные производные функции в точке

, ,

Тогда по формуле

Градиент скалярного поля U есть вектор GradU, направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону возрастания поля и численно равный наибольшей производной по направлению

Он вычисляется по формуле .

В нашем случае , ,

Тогда ,

2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S, где S – часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями.

Решение

Данная поверхность S представляет собой часть плоскости , расположенную в первом октанте.

Запишем уравнение плоскости в виде . Тогда , .

Используя формулу , имеем

Ответ:

3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S – часть поверхности параболоида (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью z=2.

Решение

Поверхность S является частью параболоида , отсеченной плоскостью . Поверхность S однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей .

Поэтому, получаем

Ответ:

4. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды, образуемою плоскостью и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса. , :

Решение

При вычислении потока данного примера рассмотрим сумму потоков, т. к. поверхность состоит из четырех частей.

Где – соответственно нормали к поверхностям и .

Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно. В первом интеграле взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость , а уравнение его плоскости .

Принимая ,

Найдем единичный вектор нормали к этой плоскости .

Здесь , что и соответствует нормали к внешней стороне треугольника. После этого находим

Тогда

Во втором интервале , и

.

В третьем интеграле и .

В четвертом интеграле и

Окончательно получаем .

Решим задачу с помощью теоремы Остроградского:

Поэтому

Где – объем пирамиды .

Ответ:

5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости : с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора этой плоскости двумя способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса , :

Решение

В результате пересечения плоскости с координатными плоскостями получим треугольник и укажем на нем положительное направление обхода контура .

1. Вычислим циркуляцию данного поля по формуле:

На отрезке имеем: , , ,.

,, ,

На отрезке , , , ,

,, ,

На отрезке , , , ,

Следовательно,

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса. Для этого вычислим:

В качестве поверхности в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды : .

По формуле Стокса имеем: ,

Где ,

Следовательно, .

Ответ:

6. Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

Решение

Находим частные производные функции в любой точке и в точке : , ,

, .

Тогда в точке имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке достигается в направлении :

.

7. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля в точке .

Решение

Модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля. По формуле:

Тогда

Тогда в т. ,

Ответ:

8. Выяснить, является ли векторное поле потенциальным.

Решение

Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:

В нашем случае

Следовательно, поле потенциальное.

 
Яндекс.Метрика
Наверх