Двойные интегралы

Решение

Изобразим дугу, массу которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линию

Рис. 1

Применяем формулу вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

Формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

Так как , получаем

Ответ:

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линии , .

Рис. 2

Область , ограниченная этими линиями на рис.2 заштрихована. Далее необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных. Найдём абсциссы точек пересечения линий , . Для этого решим систему:

,

.

,

Площадь фигуры вычисляется по формуле

Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно, область определяется неравенствами , . Искомая площадь будет равна:

Ответ:

Решение

Изобразим тело, объём которого нужно найти.

- шар, радиус равен 2, центр в начале координат.

- 2 цилиндрические поверхности

Рис. 3

Перейдём к цилиндрическим координатам по формулам:

, ,

Тогда уравнение шара примет вид: или ,

Уравнение примет вид

или

Поскольку левая часть уравнения кривой всегда положительна, то . Воспользуемся полярными координатами или , откуда и

Часть поверхности шара вырезанная частью проектируется на плоскость хОу в область - лемниската Бернулли (Рис. 4)

Рис. 4

Найдём объём четвёртой части искомого тела по формуле

Область: : , ,

Тогда

Ответ:

Решение

Изобразим фигуру, массу которой нужно найти (Рис. 5).

Рис. 5

По формуле

Необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных.

Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно область определяется неравенствами , . Искомая масса будет равна:

Ответ:

Решение

Изобразим плоскую фигуру, координаты центра тяжести которой нужно найти. , - параболы (Рис. 6)

Рис. 6

Так как пластина однородна, т. е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

Тогда

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий , . Для этого решим систему:

,

.

Имеем , . Тогда

Соответственно

Тогда

Ответ: Центр тяжести в т.

Решение

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy:

В данном случае V: ,,. Подставим в формулу:

Ответ:

Решение

Изобразим ломаную ОСВ:

Рис. 7

По формуле работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

Параметризируем отрезок ОС

Параметризируем отрезок CB

от 1 до 0

Тогда

Ответ: