Двойные интегралы
Изобразим дугу, массу которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линию
Рис. 1
Применяем формулу вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как , получаем
Ответ:
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линии , .
Рис. 2
Область , ограниченная этими линиями на рис.2 заштрихована. Далее необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных. Найдём абсциссы точек пересечения линий , . Для этого решим систему:
,
.
,
Площадь фигуры вычисляется по формуле
Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно, область определяется неравенствами , . Искомая площадь будет равна:
Ответ:
Решение
Изобразим тело, объём которого нужно найти.
- шар, радиус равен 2, центр в начале координат.
- 2 цилиндрические поверхности
Рис. 3
Перейдём к цилиндрическим координатам по формулам:
, ,
Тогда уравнение шара примет вид: или ,
Уравнение примет вид
или
Поскольку левая часть уравнения кривой всегда положительна, то . Воспользуемся полярными координатами или , откуда и
Часть поверхности шара вырезанная частью проектируется на плоскость хОу в область - лемниската Бернулли (Рис. 4)
Рис. 4
Найдём объём четвёртой части искомого тела по формуле
Область: : , ,
Тогда
Ответ:
Решение
Изобразим фигуру, массу которой нужно найти (Рис. 5).
Рис. 5
По формуле
Необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных.
Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно область определяется неравенствами , . Искомая масса будет равна:
Ответ:
Решение
Изобразим плоскую фигуру, координаты центра тяжести которой нужно найти. , - параболы (Рис. 6)
Рис. 6
Так как пластина однородна, т. е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий , . Для этого решим систему:
,
.
Имеем , . Тогда
Соответственно
Тогда
Ответ: Центр тяжести в т.
Решение
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy:
В данном случае V: ,,. Подставим в формулу:
Ответ:
Решение
Изобразим ломаную ОСВ:
Рис. 7
По формуле работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):
Параметризируем отрезок ОС
Параметризируем отрезок CB
от 1 до 0
Тогда
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|