Двойные интегралы
Изобразим дугу, массу которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линию
Рис. 1
Применяем формулу вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:
Формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:
Так как , получаем
Ответ:
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти. В декартовой системе координат построим линии
,
.
Рис. 2
Область , ограниченная этими линиями на рис.2 заштрихована. Далее необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных. Найдём абсциссы точек пересечения линий
,
. Для этого решим систему:
,
.
,
Площадь фигуры вычисляется по формуле
Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно, область определяется неравенствами
,
. Искомая площадь будет равна:
Ответ:
Решение
Изобразим тело, объём которого нужно найти.
- шар, радиус равен 2, центр в начале координат.
- 2 цилиндрические поверхности
Рис. 3
Перейдём к цилиндрическим координатам по формулам:
,
,
Тогда уравнение шара примет вид: или
,
Уравнение примет вид
или
Поскольку левая часть уравнения кривой всегда положительна, то
. Воспользуемся полярными координатами
или
, откуда
и
Часть поверхности шара вырезанная частью
проектируется на плоскость хОу в область
- лемниската Бернулли (Рис. 4)
Рис. 4
Найдём объём четвёртой части искомого тела по формуле
Область: :
,
,
Тогда
Ответ:
Решение
Изобразим фигуру, массу которой нужно найти (Рис. 5).
Рис. 5
По формуле
Необходимо определиться с порядком интегрирования и определить пределы интегрирования переменных.
Порядок интегрирования – сначала по x, затем по y, следовательно область определяется неравенствами
,
. Искомая масса будет равна:
Ответ:
Решение
Изобразим плоскую фигуру, координаты центра тяжести которой нужно найти. ,
- параболы (Рис. 6)
Рис. 6
Так как пластина однородна, т. е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий ,
. Для этого решим систему:
,
.
Имеем ,
. Тогда
Соответственно
Тогда
Ответ: Центр тяжести в т.
Решение
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy:
В данном случае V: ,
,
. Подставим в формулу:
Ответ:
Решение
Изобразим ломаную ОСВ:
Рис. 7
По формуле работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):
Параметризируем отрезок ОС
Параметризируем отрезок CB
от 1 до 0
Тогда
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|