Дискретная математика 01
Контрольная работа № 1
1. Даны множества A И B. Изобразить и записать с указанием характеристического свойства результат каждой операции:
А) AÈB ; б) AÇB; в) A \ B; г) B \ A; д) 
; е) 
; ж) A´ B; з) B´ A.
A = {X| xÎR, X > 2}, B = {X| xÎR,-5 £ X £ 8}
Изобразим на числовой прямой множества А и В:
Тогда
А) AÈB= ;
Б) AÇB= ;
В) A \ B= ;
Г) B \ A= ;
Д) = ;
Е) = ;
Ж) A´ B= ;
З) B´ A= .
2. На диаграммах Эйлера-Венна изобразить результат операций, предварительно указав порядок действий в формуле.
Порядок действий:
1. 
2. 
3. 
4.
Изобразим на диаграмме Эйлера–Венна:
1.
2.
3.
4.
3. Упростить выражения, используя законы алгебры множеств
Решение:
.
4. На множестве M Бинарное отношение RÍ M´M Задано характеристическим свойством. Представить отношение R Другими возможными способами. Выяснить какими свойствами оно обладает.
Решение:
Составим таблицу произведений элементов множества М, выделив те пары, которые удовлетворяют характеристическому свойству:
|
-3 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
3 | |
|
-3 |
9 |
6 |
0 |
-3 |
-6 |
-9 |
|
-2 |
6 |
4 |
0 |
-2 |
-4 |
-6 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
-6 |
-4 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
3 |
-9 |
-6 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Тогда выпишем в явном виде отношение:
Изобразим графически отношение:
Свойства отношения:
1) Рефлексивность: так как 
, то данное отношение рефлексивно.
2) Так как 
, то отношение будет симметричным.
3) Тогда отношение не будет антирефлексивным и антисимметричным.
4) Транзитивность выполняется: 
при положительном значении хотя бы одной переменной и две другие также будут положительны; при отрицательном значении одной переменной остальные также будут отрицательны. Тогда произведение любой их пары будет положительно.
5. Докажите тождество:
Доказательство:
6. Определите свойства отношений:
.
Решение:
1) Рефлексивность: так как 
, то данное отношение рефлексивно.
2) Так как из неравенства 
не следует неравенство 
, то отношение не будет симметричным.
3) Так как неравенства и могут одновременно выполняться лишь при условии 
, то отношение антисимметричное.
4) Транзитивность выполняется: 
.
7. Для отношения, заданного матрицей, определить является ли оно отношением эквивалентности
|
R |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
A |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
B |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
C |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
D |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
E |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
F |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Решение:
Отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Так как в матрице отношения по главной диагонали стоят все 1, то рефлексивность выполняется.
Так как матрица является симметричной, то отношение также является симметричным.
Исследуем на транзитивность:
Тогда транзитивность выполняется.
Следовательно, данное отношение является отношением эквивалентности.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|