Дифференцирование, пределы, интегралы
ТЕМА
“ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ”
Вариант 9.
1. Найти производные функций:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ;
9) ;10) ; 11) .
1) ;
2) ;
3) ;
4)
;
5) 6)
6)
7)
;
8)
9)
;
10)
11)
.
2. Логарифмическое дифференцирование:
1) ; 2) ; 3) .
1) ;
Логарифмируем правую и левую части уравнения:
Дифференцируем:
Тогда
2) ;
Логарифмируем правую и левую части уравнения:
Дифференцируем:
Тогда
3) .
Логарифмируем правую и левую части уравнения:
Дифференцируем:
Тогда
3. Найти производную функций, заданных неявно:
1) ; 2) .
Решение
1) ;
Дифференцируя уравнение по , имеем: .
Разрешая полученное уравнение относительно , получим:
.
2) .
Дифференцируя уравнение по , имеем: .
Разрешая полученное уравнение относительно , получим:
.
4. Найти производные функций, заданных параметрически:
1) ; 2) .
Решение
1) ;
По формуле .
2) .
По формуле .
5. Найти производные второго порядка заданных функций:
1) ; 2) .
Решение
1) ;
2) .
По формуле
Тогда
6. Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке x = 2.
Решение
Уравнение касательной найдём используя формулу Y = F(X0) + F '(X0)(X – X0);
Найдём , , .
Тогда:
Ответ:
Тема “Приложения дифференциального исчисления”
Вариант № 9.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:
1. ; 3. ; 2. ; 4. .
Решение
1.
3. ;
2.
4. .
При х стремится к 0 имеем неопределённость
Прологарифмируем данную функцию .
Тогда
Так как
Тогда
7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение
Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее и наибольшее из них.
Найдём производную данной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Точка х = 0 принадлежит заданному интервалу и лежит на его границе.
Таким образом, вычисляем значение функции в точках: 0 и 1.
,
Ответ: Функция принимаете наименьшее значение при х=0 , наибольшее значение при х=1
8. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V=24 наименьшую полную поверхность.
Решение
Формула площади полной поверхности имеет вид .
Так как , то выразив можно получить .
Исследуем S (R) на экстремум. .
Экстремум возможен если т. е. . Проверим смену знаков
При S(R) имеет локальный минимум и подставляя получаем .
Ответ:
Тема «Неопределенный интеграл»
Вариант 9
1. Непосредственное интегрирование.
1).; 2). ; 3). .
Решение
1).2). ;
3). .
2. Метод подведения под знак дифференциала.
1).; 2).;3).;4).;
5).; 6)..
Решение
1).;
2).;
3).;
4).;
5).;
6)..
3. Метод интегрирования по частям.
1).;2).;3). .
Решение
1).;
2).;
3).
.
4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен.
1). ;2). ; 3). ;4) .
Решение
1). ;
2). ;
3). ;
4) .
5. Интегрирование рациональных функций.
1). ;2). ;3). ;4). .
Решение
1).
;
2).
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:
3).
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:
4). .
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:
6. Интегрирование тригонометрических функций.
1). ; 2). ; 3). .
Решение
1). ;
2).
3). .
7. Интегрирование иррациональных функций.
1). ; 2)..
Решение
1).
;
2).
.
ТЕМА
“ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ”
Вариант №9.
Вычислить интегралы:
1.; 2.; 3.; 4.; 5..
Решение
1.;
2.
3.
;
4.;
Решим сначала соответствующий неопределённый интеграл
Тогда
5.
.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение
Изобразим данную фигуру:
По формуле . В нашем случае .
Имеем , . Тогда
Ответ: (кв. ед)
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:
Решение
По формуле
В нашем случае
Тогда
Ответ:
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OX.
Решение
Изобразим проекцию данного тела на плоскость хОу
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий. Для этого решим систему:
По формуле
В нашем случае
Подставив, получим:
Ответ: (куб. ед)
< Предыдущая | Следующая > |
---|