Дифференцирование, пределы, интегралы

ТЕМА

“ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ”

Вариант 9.

1.  Найти производные функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ;10) ; 11) .

Решение

1) ;

2) ;

3) ;

4)

;

5) 6)

6)

7)

;

8)

9)

;

10)

11)

.

2.  Логарифмическое дифференцирование:

1) ; 2) ; 3) .

Решение

1) ;

Логарифмируем правую и левую части уравнения:

Дифференцируем:

Тогда

2) ;

Логарифмируем правую и левую части уравнения:

Дифференцируем:

Тогда

3) .

Логарифмируем правую и левую части уравнения:

Дифференцируем:

Тогда

3.  Найти производную функций, заданных неявно:

1) ; 2) .

Решение

1) ;

Дифференцируя уравнение по , имеем: .

Разрешая полученное уравнение относительно , получим:

.

2) .

Дифференцируя уравнение по , имеем: .

Разрешая полученное уравнение относительно , получим:

.

4.  Найти производные функций, заданных параметрически:

1) ; 2) .

Решение

1) ;

По формуле .

2) .

По формуле .

5.  Найти производные второго порядка заданных функций:

1) ; 2) .

Решение

1) ;

2) .

По формуле

Тогда

6.  Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке x = 2.

Решение

Уравнение касательной найдём используя формулу F(X0) + '(X0)(– X0);

Найдём , , .

Тогда:

Ответ:

Тема “Приложения дифференциального исчисления”

Вариант № 9.

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

1. ; 3. ; 2. ; 4. .

Решение

1.

3. ;

2.

4. .

При х стремится к 0 имеем неопределённость

Прологарифмируем данную функцию .

Тогда

Так как

Тогда

7.  Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение

Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее и наибольшее из них.

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной  на заданном отрезке:

Точка  х = 0  принадлежит заданному интервалу и лежит на его границе.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: 0 и 1.

,

Ответ: Функция принимаете наименьшее значение при х=0 , наибольшее значение при х=1

8.  Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V=24 наименьшую полную поверхность.

Решение

Формула площади полной поверхности имеет вид .

Так как , то выразив можно получить .

Исследуем S (R) на экстремум. .

Экстремум возможен если т. е. . Проверим смену знаков

При S(R) имеет локальный минимум и подставляя получаем .

Ответ:

Тема «Неопределенный интеграл»

Вариант 9

1. Непосредственное интегрирование.

1).; 2). ; 3). .

Решение

1).2). ;

3). .

2. Метод подведения под знак дифференциала.

1).; 2).;3).;4).;

5).; 6)..

Решение

1).;

2).;

3).;

4).;

5).;

6)..

3. Метод интегрирования по частям.

1).;2).;3). .

Решение

1).;

2).;

3).

.

4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен.

1). ;2). ; 3). ;4) .

Решение

1). ;

2). ;

3). ;

4) .

5. Интегрирование рациональных функций.

1). ;2). ;3). ;4). .

Решение

1).

;

2).

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:

3).

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:

4). .

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:

6. Интегрирование тригонометрических функций.

1). ; 2). ; 3). .

Решение

1). ;

2).

3). .

7. Интегрирование иррациональных функций.

1). ; 2)..

Решение

1).

;

2).

.

ТЕМА

“ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ”

Вариант №9.

Вычислить интегралы:

1.; 2.; 3.; 4.; 5..

Решение

1.;

2.

3.

;

4.;

Решим сначала соответствующий неопределённый интеграл

Тогда

5.

.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение

Изобразим данную фигуру:

По формуле . В нашем случае .

Имеем , . Тогда

Ответ: (кв. ед)

7. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:

Решение

По формуле

В нашем случае

Тогда

Ответ:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OX.

Решение

Изобразим проекцию данного тела на плоскость хОу

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий. Для этого решим систему:

По формуле

В нашем случае

Подставив, получим:

Ответ: (куб. ед)

Яндекс.Метрика