Дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятности

Вариант 21

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

506.

Решение

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

527.

Решение

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

558.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь

Тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

571.

Решение

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Коэффициент а0:

Определим коэффициенты аn:

Интегрируя по частям, получаем

Определим коэффициенты bn:

Интегрируя по частям, получаем

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

590.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

611.

Решение

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид

Тогда при - решение данного уравнения.

При - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

622.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 4r = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 0, r2 = -4.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-4x, y2 = e0x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.

Следовательно, число α+βi=0+1i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

. Тогда

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

662.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

691. На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.

Решение

Используем формулу Бернулли

Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле

где есть число сочетаний из п элементов по т.

По условию задачи возникновения пожара в каждом из складов в течение года равна р=0,03; тогда q=0,97; в данном случае п=5 и. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

При m=0

При m=1

При m=2

При m=3

При m=4

При m=5

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

716.

Решение

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: n=192, p=0,75, m=150.

Находим q=1-0,75=0,25

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

733.

А=36,

S=4,

A=30,

B=40,

D=2.

Решение

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=30 и b=40. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=36 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 34 до 38 см, составляет 0,383

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

752.

Х

18

22

23

26

Р

0,2

0,3

0,4

0,1

Решение

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 18·0,2+22·0,3+23·0,4+26·0,1=3,6+6,6+9,2+2,6=22

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Х

324

484

529

676

Р

0,2

0,3

0,4

0,1

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Вариант 22

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

507.

Решение

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

528.

Решение

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

559.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь

Тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

572.

Решение

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Коэффициент а0:

Определим коэффициенты аn:

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

581.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (первого) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Посчитаем отдельно:

Тогда

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

612.

Решение

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

623.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 –r-2 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -1, r2 = 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-1x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

.

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

663.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

Решение

В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.

Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,5. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,06; Р(А/Н2)=0,07. Полная вероятность попадания в цель Р(А)= 0,5*0,06+0,5*0,07=0,065

Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна

;

Ответ:

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

717.

Решение

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: n=225, p=0.8, m=165.

Находим q=1-0,8=0,2

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(2,5)=0,0175. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

734.

А=60,

S=5,

A=54,

B=70,

D=8.

Решение

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=54 и b=70. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=60 и d=8. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 52 до 68 см, составляет

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

753.

Х

78

80

84

85

Р

0,2

0,3

0,1

0,4

Решение

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 78·0,2+80·0,3+84·0,1+85·0,4=15,6+24+8,4+34=82.

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Х

6084

6400

7056

7225

Р

0,2

0,3

0,1

0,4

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Вариант 11

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 511-520 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.

516.

Решение

Применяем интегральный признак Коши, для этого посчитаем соответствующий несобственный интеграл:

Следовательно, исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

537.

Решение

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

548.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь , тогда ,

Тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,

В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

561.

Решение

Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

Где an и bn определяются по формулам

Коэффициент а0:

Определим коэффициенты аn:

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 591-600 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

600.

Решение

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=UV+Uv и данное уравнение примет вид Или (1)

Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство (2)

При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U и Х. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Тогда - общее решение данного уравнения.

Используем условие

Окончательно

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

601.

Решение

Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение.

Применяем подстановку Р=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Р’=(Uv)’=UV+Uv и данное уравнение примет вид

Подставив в уравнение получим

Тогда . Обратная подстановка

Определим численное значение С При указанных начальных условиях. Имеем . Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем .

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

639.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 6r +9= 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3, r2 = -3.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) =

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:

,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

,

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

.

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

672.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.

Решение

В соответствии с формулой Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.

Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,05; Р(Н2)=1-Р(Н1)=1-0,05=0,95. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,85; Р(А/Н2)=0,012. Полная вероятность попадания в цель

Р(А)= 0,05*0,85+0,95*0,012=0,0425+0,0114=0,0539

Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна

;

Ответ:

705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

Решение

Используем формулу Бернулли

Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле где есть число сочетаний из n элементов по m.

По условию задачи вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, тогда р=0,5; тогда q=0,5;Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим

А) 4 мальчика;

Б) не более двух девочек.

Ответ: а) 4 мальчика б) не более двух девочек

В задачах 721-730 дана вероятность Р появления события А в каждом из П независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее M1 раз и не более M2 раза.

724.

Решение

Так как вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна р=0,4, а число n=600 достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле

, где

Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:

По условию П=600, Р=0,4, Т1=210, Т2=252. Находим A и B:

По таблице находим Ф(1)=0,3413; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения, получим искомую вероятность:

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

743.

Х

24

26

28

30

Р

0,2

0,2

0,5

0,1

Решение

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

+

Тогда М(Х) = 24·0,2+26·0,2+28·0,5+30·0,1=4,8+5,2+14+3=27

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Х

576

676

784

900

Р

0,2

0,2

0,5

0,1

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Вариант 25

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

510.

Решение

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

521.

Решение

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

552.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь

Тогда ,

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,

575. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов.

Решение

Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-1;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

584.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

615.

Решение

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

626.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2–4=0

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = -2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

.

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

666.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

695. На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.

Решение

Вероятность того, что в течение года не будет инцидентов, связанных с пожарами , с выходом из строя электрооборудования ; прорывом трубопроводов .

По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам:

Ответ:

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

720.

Решение

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения: .

Находим q=1-0,8=0,2

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

737.

А=35,

S=4,

A=27,

B=37,

D=2.

Решение

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=27 и b=37. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=35 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 33 до 37 см, составляет

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

756.

Х

56

58

60

64

Р

0,2

0,3

0,4

0,1

Решение

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 56·0,2+58·0,3+60·0,4+64·0,1=11,2+17,4+24+6,4=59.

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Х

3136

3364

3600

4096

Р

0,2

0,3

0,4

0,1

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Вариант 26

Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»

В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

501.

Решение

Применяем признак Даламбера:

Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.

В задачах 521-540 дан степенной ряд

Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.

522.

Решение

Имеем степенной ряд .

Первые четыре члена ряда:

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд Примет вид - знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в , получим - расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

553.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь

Тогда ,

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвёртый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,

576. Функцию в интервале (0, p) разложить в ряд синусов.

Решение

Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-p;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле

Определим коэффициенты bn:

Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем

Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»

В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

585.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

616.

Решение

Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Обратная подстановка у’=р. Тогда

Используя начальные условия , находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

627.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+r=0

Корни характеристического уравнения: r1 =0, r2 =-1.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные: ,

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Тогда общее решение данного уравнения

Используем начальные условия

.

Тогда решим систему:

Окончательно,

Ответ:

В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

667.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или

Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»

696. Об объекте известно: вероятность срабатывания системы пожарной защиты (ПЗ) равна РПЗ=0,7; вероятность эвакуации персонала до начала воздействия ОФП равна РЭ=0,3. Вероятность воздействия ОФП при отказе системы ПЗ равна 0,7; вероятность воздействия ОФП на неэвакуированный персонал – 0,4. Найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ.

Решение

Обозначим

- событие срабатывание системы пожарной защиты. Р(А)=0,7

- событие не срабатывание системы пожарной защиты. Р()=0,3

- событие эвакуации персонала до начала воздействия ОФП. Р(В)=0,3

- событие эвакуации персонала после начала воздействия ОФП. Р()=0,7

- событие воздействие ОФП при отказе системы ПЗ. Р(С)=0,7

- событие не воздействие ОФП при отказе системы ПЗ. Р()=0,3

- событие воздействие ОФП на неэвакуированный персонал. Р(D)=0,4

- событие не воздействие ОФП на неэвакуированный персонал. Р()=0,6

Необходимо найти вероятность того, что причиной имевшего место действия ОФП на персонал стала ненадежность ПЗ, то есть вероятность происхождения последовательности событий , , , D.

По теореме умножения

Р(.)=0,3*0,7*0,7*0,4=0,0588

Ответ: Р(.)=0,0588

В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.

711.

Решение

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле

где

Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).

Подставим сюда числовые значения:

Находим q=1-0,8=0,2

Определяем значение х при этих данных:

По таблице находим, что j(0)=0,3989. Подставив это значение в получим

Ответ:

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.

738. А=45, S=5, A=40, B=48, D=3.

Решение

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=40 и b=48. Подставив эти данные, получим

Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=45 и d=3. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим

Таким образом,

Подставляя имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 42 до 48 см, составляет

В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.

757.

Х

31

34

37

40

Р

0,3

0,5

0,1

0,1

Решение

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 31·0,3+34·0,5+37·0,1+40·0,1=9,3+17+3,7+4=34.

Дисперсию D(X) найдём по формуле

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Х

961

1156

1369

1600

Р

0,3

0,5

0,1

0,1

Тогда и

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

Из этой формулы имеем:

Яндекс.Метрика