Дифференциальные уравнения, ряды, производные, комплексные числа

Задачи контрольной работы

Найти решение задачи Коши.

Решение

Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , где и - некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид , или . (1)

Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство (2)

При таком выборе функции уравнение (1) примет вид . (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:

; ; ;; , .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; .

Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.

Используем начальное условие , Тогда

Окончательно получим:

Ответ:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т. к. решения действительные числа, то .

Теперь найдём . Правая часть . Тогда .

Найдём производные первого и второго порядка от .

, .

Подставим в исходное уравнение , и . Тогда

Или

Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых и получаем систему уравнений:

Тогда .

Следовательно, общее решение исходного уравнения: .

Дан степенной ряд Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Числа А, B и K даны.

Решение

Имеем

Для нахождения интервала сходимости применим признак Даламбера для соответствующего положительного ряда (в интервале сходимости степенной ряд сходится абсолютно). Имеем,

По признаку Даламбера ряд сходится, если и расходится, если . Значит интервалом сходимости служит или или .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Пусть , тогда получаем ряд - знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница (общий член монотонно стремится к нулю).

Пусть теперь , тогда получаем ряд . Исследуем его сходимость с помощью интегрального признака. Для этого исследуем на сходимость несобственный интеграл . Так как несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Ответ: область сходимости ряда:

Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.

Решение

Запишем данную функцию в виде: .

Используем стандартное разложение для функции

. Тогда

. Подставив в данную функцию получим:

Ответ:

При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

Решение

Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:

(4)

Непосредственно из уравнения найдем: .

Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая X = 0 в полученных равенствах, будем иметь:.

Подставляя в ряд (4) найденные значения получим:

.

Найти частные производные второго порядка

Решение

Найдём частные производные:

,

Тогда частные производные второго порядка

Найти полный дифференциал функции

Решение

Найдём частные производные: ,

Следовательно, полный дифференциал первого порядка есть

Исследовать на экстремум функцию

Решение

Находим стационарные точки заданной функции: .

Решение системы дает

Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку.

Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:

.

Как видно, частные производные второго порядка не содержат Х И Y, Они постоянны в любой точке и, в частности, в точке . Имеем А=2; В=-1; С=2.

.

Так как и А>0, то в точке данная функция имеет миниимум: .

Ответ:

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, 2) вычислить значение , ответ записать в показательной и алгебраической формах.

.

Решение

1)  Домножим это число на в числителе и знаменателе:

― это алгебраическая форма

Найдём модуль комплексного числа:

Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа:

Следовательно, - тригонометрическая форма

- показательная форма.

2)  Вычислим значение ,

Для этого найдём тригонометрическую форму числа

Найдём модуль комплексного числа:

Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа:

Следовательно, - тригонометрическая форма

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме получим

Тогда

Показательная форма

Алгебраическая форма

Яндекс.Метрика
© 2011-2022 Контрольные работы по математике и другим предметам!