Дифференциальные уравнения, ряды, производные, комплексные числа
Найти решение задачи Коши.
Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку , где и - некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид , или . (1)
Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство (2)
При таком выборе функции уравнение (1) примет вид . (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:
; ; ;; , .
Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; .
Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.
Используем начальное условие , Тогда
Окончательно получим:
Ответ:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Общее решение данного уравнения имеет вид: .
Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т. к. решения действительные числа, то .
Теперь найдём . Правая часть . Тогда .
Найдём производные первого и второго порядка от .
, .
Подставим в исходное уравнение , и . Тогда
Или
Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых и получаем систему уравнений:
Тогда .
Следовательно, общее решение исходного уравнения: .
Дан степенной ряд Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Числа А, B и K даны.
Решение
Имеем
Для нахождения интервала сходимости применим признак Даламбера для соответствующего положительного ряда (в интервале сходимости степенной ряд сходится абсолютно). Имеем,
По признаку Даламбера ряд сходится, если и расходится, если . Значит интервалом сходимости служит или или .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Пусть , тогда получаем ряд - знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница (общий член монотонно стремится к нулю).
Пусть теперь , тогда получаем ряд . Исследуем его сходимость с помощью интегрального признака. Для этого исследуем на сходимость несобственный интеграл . Так как несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Ответ: область сходимости ряда:
Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.
Решение
Запишем данную функцию в виде: .
Используем стандартное разложение для функции
. Тогда
. Подставив в данную функцию получим:
Ответ:
При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
Решение
Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:
(4)
Непосредственно из уравнения найдем: .
Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая X = 0 в полученных равенствах, будем иметь:.
Подставляя в ряд (4) найденные значения получим:
.
Найти частные производные второго порядка
Решение
Найдём частные производные:
,
Тогда частные производные второго порядка
Найти полный дифференциал функции
Решение
Найдём частные производные: ,
Следовательно, полный дифференциал первого порядка есть
Исследовать на экстремум функцию
Решение
Находим стационарные точки заданной функции: .
Решение системы дает
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку.
Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:
.
Как видно, частные производные второго порядка не содержат Х И Y, Они постоянны в любой точке и, в частности, в точке . Имеем А=2; В=-1; С=2.
.
Так как и А>0, то в точке данная функция имеет миниимум: .
Ответ:
Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, 2) вычислить значение , ответ записать в показательной и алгебраической формах.
.
Решение
1) Домножим это число на в числителе и знаменателе:
― это алгебраическая форма
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа:
Следовательно, - тригонометрическая форма
- показательная форма.
2) Вычислим значение ,
Для этого найдём тригонометрическую форму числа
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент для тригонометрического представления комплексного числа:
Следовательно, - тригонометрическая форма
Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме получим
Тогда
Показательная форма
Алгебраическая форма
< Предыдущая | Следующая > |
---|