Дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальные уравнения.
§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением N – го порядка для функции Y Аргумента X Называется соотношение вида
(1.1),
Где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент X, Искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение N-Го порядка. Например
А) – уравнение первого порядка;
Б) – уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
В) – уравнение второго порядка;
Г) – уравнение первого порядка,
Образующее после деления на Dx эквивалентную форму задания уравнения: .
Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
имеет решение .
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти Все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения N-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно Y(X): В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение: , причем второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной .
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при (1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (N=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение Y=Y(X,С) Или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D Плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме.
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)
Или уравнение вида (3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т. е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение G(Y)= 0. Если оно имеет вещественное решение Y=A, То Y=A тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.
Пример.
Решить уравнение: .
Решение.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получаем
Далее из уравнений и находим X=1, Y=-1. Эти решения – частные решения.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.
Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.
Решение.
,
Что и требовалось доказать.
Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .
Доказательство.
Первое утверждение теоремы очевидно, т. к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.
Определение 2. Уравнение (4.1)
В котором M И N – однородные функции одной и той же степени, т. е. обладают свойством при всех , называется однородным.
Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции Y по формуле Y=Zx, Где Z(X) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или .
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции Z(X) , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид
и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку X=Zy.
§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
Рассмотрим уравнение вида . (5.1)
Если , то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы
Приводится к однородному уравнению
Если , то уравнение (5.1) принимает вид
.
Полагая Z=Ax+By, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Проинтегрировать уравнение
И выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).
Решение.
Положим Y=Zx. Тогда Dy=Xdz+Zdx И
.
Сократим на и соберем члены при Dx И Dz:
.
Разделим переменные: .
Интегрируя, получим ;
Или , .
Заменив здесь Z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2) или .
Это семейство окружностей , центры которых лежат на прямой Y = X И которые в начале координат касаются прямой Y + X = 0. Эта прямая Y = -X В свою очередь частное решение уравнения.
Теперь режим задачи Коши:
А) полагая в общем интеграле X=2, Y=2, Находим С=2, Поэтому искомым решением будет .
Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая Y = -X, Проходит через точку и дает искомое решение.
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение.
Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).
Определитель в данном примере , поэтому надо решить следующую систему
Решая, получим, что . Выполняя в заданном уравнении подстановку , получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки , находим .
Возвращаясь к старым переменным X И Y По формулам , имеем .
§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
Уравнение M(X,Y)Dx+N(X,Y)Dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число K, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени M Относительно X, Y, Dx И Dy При условии, что X Считается величиной первого измерения, Y – K‑Го измерения, Dx И Dy – Соответственно нулевого и (K-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)
Действительно при сделанном предположении относительно измерений
X, Y, Dx И Dy Члены левой части и Dy Будут иметь соответственно измерения -2, 2K и K-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число K: -2 = 2K = K-1. Это условие выполняется при K = -1 (при таком K все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.
Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где Z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как K = -1, то , после чего получаем уравнение .
Интегрируя его, находим , откуда . Это общее решение уравнения (6.1).
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:
, (7.1)
Где P(X) И Q(X) – заданные непрерывные функции от X. Если функция , То уравнение (7.1) имеет вид: (7.2)
И называется линейным однородным уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
(7.3)
Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(X) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(X) Так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:
.
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:
Или .
Откуда , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4)
Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы.
Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда . Подставим найденную производную в исходное уравнение: .
Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию U(X) за скобку: (7.5)
Потребуем обращения в нуль круглой скобки: .
Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: . С найденной функцией V(X) вернемся в уравнение (7.5): .
Решая его, получим: .
Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:
.
§ 8. Уравнение Бернулли.
Определение.
Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1)
Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции Z(X): , т. е. для функции Z(X) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо Z(X) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно Y. При добавляется решение Y(X)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.
Пример. Найти общее решение уравнения: (8.2)
Решение.
Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем .
Будем искать решение уравнения в виде .
Тогда .
В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию U(X), и потребуем, чтобы . Откуда . Тогда для функции U(X) будем иметь следующее уравнение:
или ,
Которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции U(X). Решим его ,
,
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: , Y(X)=0.
§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение. Если в уравнении M(X,Y)Dx+N(X,Y)Dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде Du(X,Y)=0, следовательно, его общий интеграл есть U(X,Y)=C.
Например, уравнение Xdy+Ydx=0 Есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде D(Xy)=0. Общим интегралом будет Xy=C.
Теорема. Предположим, что функции M и N Определены и непрерывны в некоторой односвязной области D И имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по Y И по X. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).
Доказательство.
Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция U(X,Y), что и .
Действительно, поскольку ,то
(9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по Y:
. Но , следовательно, .
Положим и тогда .
Итак, построена функция , для которой , а .
Рассмотрим пример.
Пример. Найти общий интеграл уравнения: .
Решение. Здесь
Тогда . Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая функция U(X,Y), частные производные которой соответственно по X И Y Равны M(X,Y) И N(X,Y):
. Интегрируем первое из двух соотношений по X:
, .
Теперь продифференцируем U(X,Y) по Y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной :
.
Откуда и . Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является: .
§ 10. Интегрирующий множитель.
Если уравнение M(X,Y)Dx + N(X,Y)Dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(X,Y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение
µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)Du, то функция µ(X,Y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.
Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.
Если µ Есть непрерывно дифференцируемая функция от X и y, то .
Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:
(10.1).
Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от X и Y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ От независимой переменной ω:
(10.2),
Где , т. е. дробь является функцией только от ω.
Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель
, С = 1.
В частности уравнение M(X,Y)Dx + N(X,Y)Dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от X (ω = X) или только от Y (ω = Y), если выполнены соответственно следующие условия:
,
Или
, .
< Предыдущая | Следующая > |
---|