Дифференциальные уравнения, дифференцирование, теория вероятности

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

А), если при

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Используем начальное условие :

Тогда окончательно

Ответ:

Б) ,

Решение

Перепишем данное уравнение в виде: Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

. Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем начальное условие:

Тогда окончательно

Ответ:

1.) В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причём каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в этом турнире?

Решение

Ответ: 105 партий.

2) Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Решение

Выбрать перчатку на левую руку можно 6 способами.

При каждом таком выборе левой перчатки можно 5 способами выбрать правую перчатку, не совпадающую по размеру с выбранной левой.

По правилу произведения то, о чем спрашивается, можно выбрать 6*5=30 способами.

Ответ : 30 способов.

3) Решить систему уравнений:

Решение

Так как , то данную систему можно переписать в виде

Решая квадратное уравнение находим два корня: и .

Корень - не подходит по условию, так как . Тогда

Ответ:

Найти частные производные

Решение

Считая Y постоянной и дифференцируя Z как функцию X, получаем частную производную по X:

Аналогично, считая X постоянной и дифференцируя Z как функцию Y, получаем частную производную по Y:

1)  Найти полные дифференциалы заданных функций

Решение

Полный дифференциал функции Z = F (X, Y) вычисляется по формуле

Dz = .

Найдём частные производные

Тогда Dz = .

2)  Вычислить приближённо значения данных выражений

Решение

Обозначим Z = F(X,Y)=

Используем приближенное равенство F(X+∆X, Y+∆Y) ≈ F(X, y) + Df(X, y).

Найдём частные производные ;

Полагая Х=8, У=6, получим в точке : Z=F(8;6)= ,

При ∆Х=8,04-8=0,04, ∆У=6,03-6=0,03 найдем дифференциал функции в точке , воспользовавшись формулой для полного дифференциала :

Далее находим приближенное значение данной функции в точке :

Ответ:

240)

Решение

Подстановка предельного значения X=0 приводит к неопределенности вида . Преобразуем выражение в скобках, получим неопределённость вида и раскроем неопределённость с помощью правила Лопиталя, применив его трижды:

241)

Решение

Подстановка предельного значения X=0 приводит к неопределенности вида . Раскроем неопределённость с помощью правила Лопиталя:

Яндекс.Метрика