Дифференциальные уравнения, дифференцирование, теория вероятности
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
А), если при
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .
Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Используем начальное условие :
Тогда окончательно
Ответ:
Б) ,
Перепишем данное уравнение в виде: Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем начальное условие:
Тогда окончательно
Ответ:
1.) В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причём каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в этом турнире?
Решение
Ответ: 105 партий.
2) Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Решение
Выбрать перчатку на левую руку можно 6 способами.
При каждом таком выборе левой перчатки можно 5 способами выбрать правую перчатку, не совпадающую по размеру с выбранной левой.
По правилу произведения то, о чем спрашивается, можно выбрать 6*5=30 способами.
Ответ : 30 способов.
3) Решить систему уравнений:
Решение
Так как , то данную систему можно переписать в виде
Решая квадратное уравнение находим два корня: и .
Корень - не подходит по условию, так как . Тогда
Ответ:
Найти частные производные
Решение
Считая Y постоянной и дифференцируя Z как функцию X, получаем частную производную по X:
Аналогично, считая X постоянной и дифференцируя Z как функцию Y, получаем частную производную по Y:
1) Найти полные дифференциалы заданных функций
Решение
Полный дифференциал функции Z = F (X, Y) вычисляется по формуле
Dz = .
Найдём частные производные
Тогда Dz = .
2) Вычислить приближённо значения данных выражений
Решение
Обозначим Z = F(X,Y)=
Используем приближенное равенство F(X+∆X, Y+∆Y) ≈ F(X, y) + Df(X, y).
Найдём частные производные ;
Полагая Х=8, У=6, получим в точке : Z=F(8;6)= ,
При ∆Х=8,04-8=0,04, ∆У=6,03-6=0,03 найдем дифференциал функции в точке , воспользовавшись формулой для полного дифференциала :
Далее находим приближенное значение данной функции в точке :
Ответ:
240)
Решение
Подстановка предельного значения X=0 приводит к неопределенности вида . Преобразуем выражение в скобках, получим неопределённость вида и раскроем неопределённость с помощью правила Лопиталя, применив его трижды:
241)
Решение
Подстановка предельного значения X=0 приводит к неопределенности вида . Раскроем неопределённость с помощью правила Лопиталя:
< Предыдущая | Следующая > |
---|