Дифференциальные уравнения 08

Вариант 26

26.1.

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

26.2.

Решение

Приведём уравнение к виду:

Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем

Уравнение примет вид ,

Разделяем переменные и интегрируем: , , . Посчитаем отдельно:

Тогда

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:

Ответ:

26.3.

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции У, получим

Ответ:

26.4.

Решение

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид.

Проверим выполнение условия:

- условие выполняется.

Поэтому - дифференциал некоторой функции . Следовательно данное уравнение может быть записано в виде

При этом, .

Интегрируем первое равенство по х, получим , где - неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.

Дифференцируем U по у, имеем .

Тогда используя то, что , получим

или ,

Тогда , и, следовательно,

Ответ:

26.5. , ,

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: ,

Вернёмся к переменной у:

Используем начальные условия: , . Тогда

Возвращаясь к функции У, получим

Ответ:

26.6.

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда , .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: ,

Возвращаясь к функции У, получим

Ответ:

26.7. ,

Решение

Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:

Получим уравнение первого порядка относительно :

Разделим переменные и проинтегрируем ,

Тогда или

Выполним обратную подстановку; , .

Используем условия , тогда или .

Тогда уравнение запишется в виде

Разделим переменные и проинтегрируем , ,

Получим

Используем условие , тогда или .

Окончательно получим: ,

Ответ:

26.8. , ,

Решение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительны и имеются кратные , то общее решение исходного уравнения имеет вид .

Для определения значений коэффициентов воспользуемся начальными условиями ,

Получим систему уравнений:

Тогда окончательно

Ответ:

26.9.

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительные и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

26.10.

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительные и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , , .

Подставим в исходное

, .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

26.11.

Решение

Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: . Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде: , где «варьированные» постоянные И найдём из системы: