Дифференциальные уравнения 07
Вариант 2
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
,
Ответ:
Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену
и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем
,
Разделяем переменные и интегрируем: ,
. Посчитаем отдельно:
,
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:
Ответ:
Решение
Перепишем уравнение в виде
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки
где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение
получим
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
2.4.
Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид .
Проверим выполнение условия:
- условие выполняется.
Поэтому - дифференциал некоторой функции
. Следовательно данное уравнение может быть записано в виде
При этом,
.
Интегрируем первое равенство по х, получим , где
- неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.
Дифференцируем U по у, имеем .
Тогда используя то, что , получим
или
,
Тогда ,
И, следовательно,
Ответ:
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда
.
Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Посчитаем отдельно:
Тогда
Используем начальные условия: ,
. Тогда
Возвращаясь к функции У, получим
Используем начальные условия: . Тогда
.
Ответ:
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда
.
Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
.
Тогда
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
Решение
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где
- новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно :
Разделим переменные и проинтегрируем ,
Выполним обратную подстановку; ,
.
Разделим переменные и проинтегрируем ,
,
Ответ:
2.8. ,
.
Решение
Составим характеристическое уравнение
,
.
Так как его корни действительны и имеются кратные , то общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Для определения значений коэффициентов воспользуемся начальными условиями
.
Получим систему уравнений:
Тогда окончательно
Ответ:
2.9.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительные и кратные (), общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда
,
Подставим в исходное
,
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
2.10.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительные и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда
,
.
Подставим в исходное
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
2.11.
Решение
Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение
имеет корни
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
. Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде:
, где «варьированные» постоянные
И
найдём из системы:
Тогда
В результате искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|