Дифференциальные уравнения 07 |
|
Вариант 2 Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: Посчитаем интегралы отдельно:
Ответ: Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид Разделяем переменные и интегрируем: Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде: Ответ: Решение Перепишем уравнение в виде Это уравнение вида Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим Ответ: 2.4. Решение Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид Проверим выполнение условия:
Поэтому При этом Интегрируем первое равенство по х, получим Дифференцируем U по у, имеем Тогда используя то, что
Тогда И, следовательно,
Ответ: Решение Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки Отсюда Посчитаем отдельно:
Тогда Используем начальные условия: Возвращаясь к функции У, получим
Используем начальные условия: Ответ: Решение Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки Отсюда Тогда Возвращаясь к функции У, получим Ответ: Решение Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем
Получим уравнение первого порядка относительно Разделим переменные и проинтегрируем Выполним обратную подстановку;
Разделим переменные и проинтегрируем Ответ: 2.8. Решение Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительны и имеются кратные Для определения значений коэффициентов Получим систему уравнений:
Тогда окончательно Ответ: 2.9. Решение Решим соответствующее однородное уравнение Составим характеристическое уравнение Так как его корни действительные и кратные ( Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение Общее решение неоднородного примет вид: Ответ: 2.10. Решение Решим соответствующее однородное уравнение Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительные и различны ( Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
Подставим в исходное
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ: 2.11. Решение Решим сначала соответствующее однородное уравнение
Ответ:
|
, 
позволяет сделать замену 
и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем 
, 
- линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки 
где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение 
получим
.
.
- условие выполняется.
- дифференциал некоторой функции 
. Следовательно данное уравнение может быть записано в виде 
, 
.
, где 
- неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.
.
, получим
или 
,
,
, 
, тогда 
.
, 
.
, где 
- новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
или 
, 
, 
, 
.
,
.
, то общее решение исходного уравнения имеет вид 
.
воспользуемся начальными условиями 
), общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
, тогда
, 
Подставим в исходное
, 
,
), общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
, тогда
, 
.
.
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде: 
, где «варьированные» постоянные 
И
найдём из системы:
Тогда 
В результате искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:
