Дифференциальные уравнения 07
Вариант 2
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
,
Ответ:
Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем ,
Разделяем переменные и интегрируем: , . Посчитаем отдельно: ,
Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде:
Ответ:
Решение
Перепишем уравнение в виде
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим .
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
2.4.
Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид .
Проверим выполнение условия:
- условие выполняется.
Поэтому - дифференциал некоторой функции . Следовательно данное уравнение может быть записано в виде
При этом, .
Интегрируем первое равенство по х, получим , где - неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.
Дифференцируем U по у, имеем .
Тогда используя то, что , получим
или ,
Тогда ,
И, следовательно,
Ответ:
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Посчитаем отдельно:
Тогда
Используем начальные условия: , . Тогда
Возвращаясь к функции У, получим
Используем начальные условия: . Тогда .
Ответ:
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: .
Тогда
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
Решение
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно :
Разделим переменные и проинтегрируем ,
Выполним обратную подстановку; , .
Разделим переменные и проинтегрируем , ,
Ответ:
2.8. , .
Решение
Составим характеристическое уравнение
,.
Так как его корни действительны и имеются кратные , то общее решение исходного уравнения имеет вид .
Для определения значений коэффициентов воспользуемся начальными условиями .
Получим систему уравнений:
Тогда окончательно
Ответ:
2.9.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительные и кратные (), общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда
, Подставим в исходное
, ,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
2.10.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение
Так как его корни действительные и различны (), общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда
, .
Подставим в исходное
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
2.11.
Решение
Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: . Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде: , где «варьированные» постоянные И найдём из системы:
Тогда В результате искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|