Дифференциальные уравнения (4 примера)
8. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Приведём уравнение к виду:
Полагаем . Тогда
. Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
. Интегрируем:
Следовательно:
Возвращаясь к старой переменной , получим:
.
Ответ:
38. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Приведём уравнение к виду:
Полагаем . Тогда
. Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
. Интегрируем:
Следовательно:
Возвращаясь к старой переменной , получим:
или
Ответ:
68. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
,
,
Решение
Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение имеет корни
,
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , тогда
,
Подставим в исходное:
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
,
,
Тогда ,
.
Частное решение имеет вид:
Общее решение будет иметь вид:
Так как по условию , то
,
Так как по условию , а
то
,
Решим систему:
Получим:
Окончательно:
Ответ:
78. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
,
,
Решение
Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение имеет корни
,
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Уравнение имеет вид
Найдём частное решение для правой части
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , тогда
,
Подставим в исходное:
,
. Следовательно:
Частное решение имеет вид:
Найдём частное решение для правой части
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , тогда
,
Подставим в исходное:
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
,
,
Тогда ,
.
Частное решение имеет вид:
Общее решение будет иметь вид:
Так как по условию , то
,
Так как по условию , а
то
,
Решим систему:
Получим:
Окончательно:
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|