Дифференциальные уравнения (4 примера) |
|
8. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Данное дифференциальное уравнение – однородное. Приведём уравнение к виду: Полагаем
Возвращаясь к старой переменной Ответ: 38. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные)
Решение Данное дифференциальное уравнение – однородное. Приведём уравнение к виду: Полагаем
Возвращаясь к старой переменной
Ответ: 68. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Подставим в исходное:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
Тогда Частное решение имеет вид: Общее решение будет иметь вид: Так как по условию Так как по условию Решим систему:
Получим: Окончательно: Ответ: 78. Найти частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение Найдём решение соответствующего однородного уравнения. Его характеристическое уравнение Уравнение имеет вид Найдём частное решение для правой части Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: Подставим в исходное:
Частное решение имеет вид: Найдём частное решение для правой части Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: Подставим в исходное:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим систему:
Тогда Частное решение имеет вид: Общее решение будет иметь вид: Так как по условию Так как по условию Решим систему:
Получим: Окончательно: Ответ:
|
. Тогда 
. Подставляя в уравнение, получим:
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Следовательно: 
, получим: 
.
- получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: 
. Интегрируем: 
Следовательно: 
или
, 
, 
имеет корни 
, 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
, тогда 
,
, 
.
,
,
, 
.
, 
то 
, 
, 
, 
имеет корни 
, 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
, тогда 
,
,
. Следовательно: 
, тогда 
, 
,
.
,
,
, 
.
