Дифференциальные уравнения 04
Задача №1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Задача №2. Решить однородное дифференциальное уравнение
Приведём уравнение к виду:
Данное уравнение является однородным, Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал , и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Получили
Из введенной подстановки следует, что . Следовательно,
Ответ:
Задача №3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Решение
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Задача №4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных и методом неопределённых коэффициентов.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Метод неопределённых коэффициентов:
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2+r-2= 0
Корни характеристического уравнения: r1 = 1 и r2 = -2
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
Y' = , y'' =
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Частное решение имеет вид:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
или
Ответ:
Задача №5. Найти общее решение системы линейных однородных дифференциальлных уравнений методом сведения к одному уравнению.
Решение
Продифференцируем по х первое уравнение
Исключаем с помощью второго уравнения , получим , .
С помощью первого уравнения исключаем z:
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка.
Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .
Из первого уравнения
Ответ:
Задача №6. Для уравнения операционным способом решить задачу Коши с начальными условиями
Решение
Пусть тогда , , . Тогда приходим к изображающему уравнению или
Разложим на простые дроби
Получим
Переходим от изображения к оригиналу
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|