Дифференциальное и интегральное исчисление 02
Вариант 10
Задача 1
С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность при имеет своим пределом число А. Найти целое значение N, Начиная с которого .
Рассмотрим неравенство
- натуральное
Откуда , .
Следовательно, , где квадратные скобки обозначают целую часть числа. То есть, число 0 является пределом последовательности. Пусть теперь . Тогда
Задача 2
Вычислить предел
Задача 3
Вычислить производную
Решение
Задача 4
Вычислить производную
Решение
Задача 5
Вычислить логарифмическую производную
Решение
Имеем
Задача 6
Вычислить производную функции, заданной параметрически.
Решение
По формуле имеем
Задача 7
Вычислить производную функции, заданной неявно уравнением
Решение
По формуле .
Имеем ,
Отсюда легко находим :
Задача 8
Найти предел, используя правило Лопиталя.
Решение
Неопределённость типа . Используем правило Лопиталя
Задача 9
Найти предел, используя правило Лопиталя.
Решение
Неопределённость типа приведём к виду и используем правило Лопиталя
Задача 10
Функцию у = f(x) разложить ли формуле Тейлора и окрестности точки x0 до
Решение
Преобразуем к виду
Делаем замену х-2=t, х=t+2
Используем стандартные разложения
И формулу
Возвращаемся к переменной х:
Задача 11
Вычислить предел двумя способами:
А) используя разложение по формуле Тейлора:
Б) с помощью правила Лопиталя.
Решение
А)
Б)
Задача 12
Построить график функции
A=1, b=3, c=3, d=1, p=-2, q=1.
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Данная функция определена для:
Решаем вспомогательное уравнение.,
Первая производная:
==
==
==
Вторая производная:
Вторая производная это производная от первой производной.
=
==
==
==
==
==
Точки пересечения с осью :
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
, , ,
Точки пересечения с осью :
Пусть х=0
Вертикальные асимптоты: х=1
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль
,
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: у=х+5 .
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.
=
Предел разности исходной функции и функции х+5 на бесконечности равен нулю.
Критические точки: х=-1, х=5
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Решаем уравнение методом разложения на множители.
,
Случай. х+1=0, х=-1 Итак, ответ этого случая: х=-1.
Случай.,,
Случай. х-5=0, х=5 Итак, ответ этого случая: х=5.
Случай., Итак, ответ этого случая: х=1, х=-1.
Итак, ответ этого случая: . не входит в ОДЗ функции.
Возможные точки перегиба: х=-1
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Следующее уравнение равносильно предыдущему. , ,
Случай., Итак, ответ этого случая: х=1.
Случай., Итак, ответ этого случая: .
не входит в ОДЗ функции.
Точки разрыва: х=1
Симметрия относительно оси ординат: нет
Симметрия относительно начала координат: нет
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).
Относительный минимум.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции: множество всех действительных чисел
Рис. 1
Задача 13
Построить график функции
Решение
1). Область определения : .
2). Периодической функция не является
3). График не имеет вертикальних и горизонтальных асимптот.
Наклонная асимптота функции:
4). Пересечение с осью абсцисс (OX):
Пересечения графика с осью OY:
5). Поведение функции в граничных точках области определения:
Поведение функции на бесконечности:
6). Производная данной функции.
Производная функции равна:
Нули производной:
Функция возрастает на: . Функция убывает на:
7). С учётом предыдущих пунктов строим график функции y(x).
Строим график
Рис. 2
Задача 14
Построить график функции
Решение
1). Область определения .
2). Периодической функция не является.
3). Наклонная асимптота функции:
4). Пересечение с осью OY: нет
Пересечения графика с осью OХ:
5). Поведение функции в граничных точках области определения:
Поведение функции на бесконечности:
6). Производная данной функции равна
Определяем положение экстремумов. Решим уравнение
Функция возрастает на:
Функция убывает на:
7). С учётом предыдущих шести пунктов строим график функции y(x).
График функции приведён на рис. 3.
Рис. 3
Задача 15
Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах
Решение
Преобразуем данную функцию к виду: . Период функции равен . Если вместо подставить , то уравнение не изменится. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно полярной оси. График состоит из 4х лепестков. Вычислим значения функции , подставляя значения нескольких углов . Получим:
На рис. 4 приведён график.
Рис. 4
Задача 16
Вычислить приближенно указанные величины.
Решение
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:
, ,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
Задача 17
Вычислить приближенно указанные величины.
Решение
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:
, ,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
Задача 18
Вычислить частные производные первого порядка
Решение
Вычисляем первые производные:
,
Задача 19
Вычислить смешанные производные второго порядка и проверить, что они равны.
Решение
Вычисляем первые производные:
,
Дифференцируя первое равенство по y, а второе – по х, находим смешанные производные:
Убеждаемся, что равенство выполнено
Задача 20
Найти и исследовать точки экстремума функции.
Решение
Найдём стационарные точки из условия:
;
;
.
Решая получившуюся систему уравнений, получим координаты стационарной точки : , , . В выполнено необходимое условие экстремума. проверим выполнение достаточного условия экстремума. Проверим критерий Сильвестра. Вычислим в вторые производные.
, , , , ,
И составим из них матрицу
Угловые миноры матрицы А
Т. к. , то в точке функция имеет локальный максимум.
< Предыдущая | Следующая > |
---|