Дифференциальное и интегральное исчисление 01
Вариант 14
Задача 1
С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность при
имеет своим пределом число А. Найти целое значение N, Начиная с которого
.
Рассмотрим неравенство
- натуральное
Откуда получим ,
2 случая
1) , при
. Нет такого n, потому что так как n - натуральное, то из целых чисел есть только N=1, а при N=1 условие |Un+3|<0.01 не выполняет
2) , при
. Так как n-натуральное, то
: Откуда получим
Следовательно, , где квадратные скобки обозначают целую часть числа. То есть, число -3 является пределом последовательности. Пусть теперь
. Тогда
Задача 2
Вычислить предел
Задача 3
Вычислить производную
Решение
Задача 4
Вычислить производную
Решение
Задача 5
Вычислить логарифмическую производную
Решение
Имеем
Задача 6
Вычислить производную функции, заданной параметрически.
Решение
По формуле имеем
Тогда
Задача 7
Вычислить производную функции, заданной неявно уравнением
Решение
По формуле .
Имеем ,
Отсюда легко находим :
Задача 8
Найти предел, используя правило Лопиталя.
Решение
Неопределённость типа . Используем правило Лопиталя
Задача 9
Найти предел, используя правило Лопиталя.
Решение
Неопределённость типа . Используем правило Лопиталя после преобразования
Способ 2
Найдём предел
Тогда
Задача 10
Функцию у = f(x) разложить ли формуле Тейлора и окрестности точки x0 до
Решение
Запишем в виде:
Делаем замену х-2=t, х=t+2, тогда
Используем стандартное разложение
Тогда
Возвращаемся к переменной х:
Задача 11
Вычислить предел двумя способами:
А) используя разложение по формуле Тейлора:
Б) с помощью правила Лопиталя.
Решение
А)
Б)
Задача 12
Построить график функции
A=-3, b=2, c=0, d=-6, p=0, q=-3.
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения: ,
,
Первая производная:
==
==
Вторая производная:
=
=
==
=
=
Точки пересечения с осью :
,
,
,
Точки пересечения с осью : у=2
Пусть х=0,
Вертикальные асимптоты:
,
,
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: .
=
Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.
Критические точки:
,
,
,
и
Случай. Итак, ответ этого случая: х=0.
Случай. Итак, ответ этого случая: х=-3, х=3.
Возможные точки перегиба: х=0
,
,
,
Точки разрыва:
Симметрия относительно оси ординат: нет
Симметрия относительно начала координат: нет
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Относительный минимум .Относительный максимум
.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции: множество всех действительных чисел
Рис. 1
Задача 13
Построить график функции
Решение
1). Область определения .
2). Периодической функция не является
3). График не имеет наклонных, вертикальных или горизонтальных асимптот.
4). Пересечений с осью OY нет
Пересечение с осью абсцисс (OX):
5). Поведение функции в граничных точках области определения:
Поведение функции на бесконечности:
6). Производная данной функции равна
![]() |
![]() |
=
Нули производной:
Функция возрастает при
7) Вторая производная
⇒ а) при
;
Б) при
.
Таким образом, функция имеет точку перегиба
Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервале
.
8) С учётом предыдущих пунктов строим график функции y(x).
Рис. 2.
Задача 14
Построить график функции
Решение
1). Область определения .
2). Периодической функция не является.
3). Наклонная асимптота функции:
4). Пересечение с осью OY: нет
Пересечения графика с осью OХ:
5). Поведение функции в граничных точках области определения:
Поведение функции на бесконечности:
6). Производная данной функции равна
![]() |
![]() |
=
Определяем положение экстремумов. Решим уравнение
Функция убывает на:
7) Вторая производная
⇒ а) при
- не входит в область определения;
б) при
.
Таким образом, критических точек второго рода функция не имеет. Значит, график функции не имеет точек перегиба.
Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервале
.
8). С учётом предыдущих шести пунктов строим график функции y(x).
График функции приведён на рис. 3.
Рис. 3
Задача 15
Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах
Решение
Период функции равен . Вычислим значения функции
, подставляя значения нескольких углов
. Получим:
На рис. 4 приведён график.
Рис. 4
Задача 16
Вычислить приближенно указанные величины.
Решение
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно,
,
. Найдём значения функции и её производной:
,
,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
Задача 17
Вычислить приближенно указанные величины.
Решение
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно,
,
. Найдём значения функции и её производной:
,
,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
Задача 18
Вычислить частные производные первого порядка
Решение
Вычисляем первые производные:
,
Задача 19
Вычислить смешанные производные второго порядка и проверить, что они равны.
Решение
Вычисляем первые производные:
,
Дифференцируя первое равенство по y, а второе – по х, находим смешанные производные:
Убеждаемся, что равенство
выполнено
Задача 20
Найти и исследовать точки экстремума функции.
Решение
Найдём стационарные точки из условия:
;
;
.
Решая получившуюся систему уравнений, получим координаты стационарной точки :
,
,
. В
выполнено необходимое условие экстремума. проверим выполнение достаточного условия экстремума. Проверим критерий Сильвестра. Вычислим в
вторые производные.
,
,
,
,
,
И составим из них матрицу
Угловые миноры матрицы А
Т. к. ,
то в точке
функция
имеет локальный максимум.
< Предыдущая | Следующая > |
---|