Дифференциальное и интегральное исчисление 01

Вариант 14

Задача 1

С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность при имеет своим пределом число А. Найти целое значение N, Начиная с которого .

Решение

Рассмотрим неравенство

- натуральное

Откуда получим ,

2 случая

1) , при . Нет такого n, потому что так как n - натуральное, то из целых чисел есть только N=1, а при N=1 условие |Un+3|<0.01 не выполняет

2) , при . Так как n-натуральное, то : Откуда получим

Следовательно, , где квадратные скобки обозначают целую часть числа. То есть, число -3 является пределом последовательности. Пусть теперь . Тогда

Задача 2

Вычислить предел

Решение

Задача 3

Вычислить производную

Решение

Задача 4

Вычислить производную

Решение

Задача 5

Вычислить логарифмическую производную

Решение

Имеем

Задача 6

Вычислить производную функции, заданной параметрически.

Решение

По формуле имеем

Тогда

Задача 7

Вычислить производную функции, заданной неявно уравнением

Решение

По формуле .

Имеем ,

Отсюда легко находим :

Задача 8

Найти предел, используя правило Лопиталя.

Решение

Неопределённость типа . Используем правило Лопиталя

Задача 9

Найти предел, используя правило Лопиталя.

Решение

Неопределённость типа . Используем правило Лопиталя после преобразования

Способ 2

Найдём предел

Тогда

Задача 10

Функцию у = f(x) разложить ли формуле Тейлора и окрестности точки x0 до

Решение

Запишем в виде:

Делаем замену х-2=t, х=t+2, тогда

Используем стандартное разложение

Тогда

Возвращаемся к переменной х:

Задача 11

Вычислить предел двумя способами:

А) используя разложение по формуле Тейлора:

Б) с помощью правила Лопиталя.

Решение

А)

Б)

Задача 12

Построить график функции

A=-3, b=2, c=0, d=-6, p=0, q=-3.

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения: , ,

Первая производная:

Вторая производная:

===

Точки пересечения с осью :

, , ,

Точки пересечения с осью : у=2

Пусть х=0,

Вертикальные асимптоты:

, ,

Горизонтальные асимптоты: нет.

Наклонные асимптоты: .

Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.

Критические точки:

, , , и

Случай. Итак, ответ этого случая: х=0.

Случай. Итак, ответ этого случая: х=-3, х=3.

Возможные точки перегиба: х=0

, , ,

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Симметрия относительно начала координат: нет

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Относительный минимум .Относительный максимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Рис. 1

Задача 13

Построить график функции

Решение

1). Область определения .

2). Периодической функция не является

3). График не имеет наклонных, вертикальных или горизонтальных асимптот.

4). Пересечений с осью OY нет

Пересечение с осью абсцисс (OX):

5). Поведение функции в граничных точках области определения:

Поведение функции на бесконечности:

6). Производная данной функции равна

Нули производной:

Функция возрастает при

7) Вторая производная

⇒ а) при ;

Б) при .

Таким образом, функция имеет точку перегиба

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервале .

8) С учётом предыдущих пунктов строим график функции y(x).

Рис. 2.

Задача 14

Построить график функции

Решение

1). Область определения .

2). Периодической функция не является.

3). Наклонная асимптота функции:

4). Пересечение с осью OY: нет

Пересечения графика с осью OХ:

5). Поведение функции в граничных точках области определения:

Поведение функции на бесконечности:

6). Производная данной функции равна

Определяем положение экстремумов. Решим уравнение

Функция убывает на:

7) Вторая производная

⇒ а) при - не входит в область определения;

б) при .

Таким образом, критических точек второго рода функция не имеет. Значит, график функции не имеет точек перегиба.

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервале .

8). С учётом предыдущих шести пунктов строим график функции y(x).

График функции приведён на рис. 3.

Рис. 3

Задача 15

Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах

Решение

Период функции равен . Вычислим значения функции , подставляя значения нескольких углов . Получим:

На рис. 4 приведён график.

Рис. 4

Задача 16

Вычислить приближенно указанные величины.

Решение

Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:

, ,

Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:

Задача 17

Вычислить приближенно указанные величины.

Решение

Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:

, ,

Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:

Задача 18

Вычислить частные производные первого порядка

Решение

Вычисляем первые производные:

Задача 19

Вычислить смешанные производные второго порядка и проверить, что они равны.

Решение

Вычисляем первые производные:

Дифференцируя первое равенство по y, а второе – по х, находим смешанные производные:

Убеждаемся, что равенство выполнено

Задача 20

Найти и исследовать точки экстремума функции.

Решение

Найдём стационарные точки из условия:

;

Решая получившуюся систему уравнений, получим координаты стационарной точки : , , . В выполнено необходимое условие экстремума. проверим выполнение достаточного условия экстремума. Проверим критерий Сильвестра. Вычислим в вторые производные.