Дифференциальное и интегральное исчисление
3. Дифференциальное исчисление.
3.1. Пределы, непрерывность и разрывы функций.
3.1.1.Найти пределы функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
А) 
;
Б) 
;
В) 
;
Г) 
.
3.1.2.В точках 
и 
для функции 
установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:
;
В точке x = 0 пределы слева и справа:
Значит, х = 0 – точка разрыва первого рода.
В точке x = 5 пределы слева и справа:
Значит, х = 5 – точка разрыва второго рода.
Схематичный чертеж:
Производные функций.
3.1.3.Найти производные 
функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
Решение:
А) 
;
Б) 
;
В) 
;
Д) 
;
Е) 
;
Ж) 
3.2. Приложения производной.
3.2.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции 
.
Решение:
ОДЗ: 
.
Функция является функцией общего вида:
Асимптоты: 
– вертикальные асимптоты.
Наклонные:
Итак, у=х-6 – наклонная асимптота.
Промежутки монотонности:
Выполним построение:
4. Интегральное исчисление.
4.1. Неопределенный интеграл.
4.1.1.Найти интегралы:
а) 
; б) 
; д) 
.
Решение:
а) 
Б) 
;
Д) 
.
4.2. Несобственные интегралы.
4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:
Решение:
Решение:
Несобственный интеграл сходится.
4.3. Применения определенных интегралов.
4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
;
Решение:
Выполним построение:
Вычислим площадь полученной области:
4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение:
Выполним построение области вращения:
Вычислим объём по формуле:
5. Функции нескольких переменных.
5.1. Частные производные и дифференциал функции.
5.1.1.Найти дифференциал 
функции 
.
Решение:
Найдём частные производные первого порядка:
Найдём дифференциал по формуле:
5.1.2.Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
Решение:
, 
Найдём частные производные:
5.2. Приложения частных производных.
5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
Решение:
в точке 
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М записывается в виде:
Найдём частные производные:
Следовательно, уравнение касательной в точке имеет вид:
5.2.2.Для функции 
в точке 
найти градиент и производную по направлению 
.
Решение:
в точке 
Найдем частные производные функции:
Теперь можно определить градиент функции в точке :
Найдём направляющие косинусы данного вектора:
Следовательно,
8. Дифференциальные уравнения.
8.1. Уравнения первого порядка.
8.1.1.Найти общее решение уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение:
А)
Б) 
Дано однородное уравнение. Сделаем замену:
В) 
Дано линейное неоднородное уравнение. Решим однородное:
Решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольной постоянной.
8.1.2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным 
=6 величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 
= 5 миллионов рублей.
Решение:
Пусть v – скорость роста банковского вклада, N – величина вклада, и по условию v = 6N, причем N0 = 5 (млн. руб.). Зная, что скорость – это производная от величины вклада по времени, запишем:
Разделяем переменные и интегрируем:
Из начальных условий находим: 
Тогда закон изменения величины вклада: 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
