Дифференциальное и интегральное исчисление

3. Дифференциальное исчисление.

3.1. Пределы, непрерывность и разрывы функций.

3.1.1.Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

3.1.2.В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:

;

Решение:

В точке x = 0 пределы слева и справа:

Значит, х = 0 – точка разрыва первого рода.

В точке x = 5 пределы слева и справа:

Значит, х = 5 – точка разрыва второго рода.

Схематичный чертеж:

Производные функций.

3.1.3.Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;

ж)

Решение:

А) ;

Б) ;

В) ;

Д) ;

Е) ;

Ж)

3.2. Приложения производной.

3.2.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

Решение:

ОДЗ: .

Функция является функцией общего вида:

Асимптоты:  – вертикальные асимптоты.

Наклонные:

Итак, у=х-6 – наклонная асимптота.

Промежутки монотонности:

Выполним построение:

4. Интегральное исчисление.

4.1. Неопределенный интеграл.

4.1.1.Найти интегралы:

а) ; б) ; д) .

Решение:

а)

Б) ;

Д) .

4.2. Несобственные интегралы.

4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:

Решение:

Решение:

Несобственный интеграл сходится.

4.3. Применения определенных интегралов.

4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

Решение:

Выполним построение:

Вычислим площадь полученной области:

4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение:

Выполним построение области вращения:

Вычислим объём по формуле:

5. Функции нескольких переменных.

5.1. Частные производные и дифференциал функции.

5.1.1.Найти дифференциал функции .

Решение:

Найдём частные производные первого порядка:

Найдём дифференциал по формуле:

5.1.2.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение:

,

Найдём частные производные:

5.2. Приложения частных производных.

5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение:

в точке

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М записывается в виде:

Найдём частные производные:

Следовательно, уравнение касательной в точке имеет вид:

5.2.2.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Решение:

в точке

Найдем частные производные функции:

Теперь можно определить градиент функции в точке :

Найдём направляющие косинусы данного вектора:

Следовательно,

8. Дифференциальные уравнения.

8.1. Уравнения первого порядка.

8.1.1.Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение:

А)

Б)

Дано однородное уравнение. Сделаем замену:

В)

Дано линейное неоднородное уравнение. Решим однородное:

Решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольной постоянной.

8.1.2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным =6 величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла = 5 миллионов рублей.

Решение:

Пусть v – скорость роста банковского вклада, N – величина вклада, и по условию v = 6N, причем N0 = 5 (млн. руб.). Зная, что скорость – это производная от величины вклада по времени, запишем:

Разделяем переменные и интегрируем:

Из начальных условий находим:

Тогда закон изменения величины вклада: .

Яндекс.Метрика