logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье

Задание 1

Исследовать на сходимость числовые ряды.

А)

Б)

Решение

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

- следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.

Задание 2

Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.

Решение

1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Так как ряд сходится по признаку Лейбница (,) , то сходится условно по 2му признаку сравнения и ряд

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задание 3

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:

Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле

Расходится при р<1), то ряд не сходится абсолютно.

Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница: И .

При х=-2 исходный ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.

Значит степенной ряд имеет интервал абсолютной сходимости: . В т. х=-8 ряд сходится условно.

Задание 4

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти , если Варианта.

А)

Б)

Решение

А) Преобразуем исходное выражение:

Тогда используем стандартное разложение:

, тогда

Используем стандартное разложение:

, тогда

Подставим:

Б) Преобразуем исходную функцию к виду:

Воспользуемся стандартным разложением:

Имеем окончательно:

Задание 5

Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

Решение

Исходя из неравенств

на

Максимум числителя при n=2, то есть , 3/2<2

Минимум знаменателя на при ,

Имеем: - мажорирующий ряд.

Если мажорирующий ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.

Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

Следовательно, мажорирующий ряд сходится.

А значит сходится и функциональный ряд на промежутке .

Задание 6

А) Разложить функцию , заданную па полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для по­лученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?

Б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, де­сятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

В) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полу­ченного ряда.

Решение

а) Доопределим функцию на промежутке чётным образом и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. - чётная функция. Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

, следовательно

,

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

При Имеем и

Равенство Парсеваля:

, так как , то

Б) Доопределим функцию на промежутке нечётным образом, а значение в т : и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

Так как функция кусочно-дифференцируема на то ряд Фурье сходится в среднем на

В) Разложим в ряд Фурье функцию

Т=2

Вычислим коэффициенты Фурье этой функции

, следовательно

,

Ряд Фурье имеет вид:

Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б)

Задание 7

Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны длины , закреплённой на концах и удовлетворяющей следующим

Начальным условиям: ,

,

Решение

Решение ищем в виде ряда

, где l=2 по условию.

Так как , а По условию, то решение имеет вид:

, где

Окончательно:

Задание 8

Найти приближённое решение задачи Коши ; ;

Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничи­ваясь суммой , содержащей N + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в ра­боте облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знако­чередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при .

Решение

Ищем решение в виде: , тогда

,

,

Используя начальные условия, найдём значения двух коэффициентов ; .

Подставим ряды в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем:

Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему:

,, , , тогда из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициенов

, ,,…,,…

Таким образом искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд

, который сходится при любом значении x (согласно признаку Даламбера )

Оценим погрешность. Она не должна превосходить 0,001 при

Так как , то достаточно взять первые 2 члена ряда

Задание 9

Приближенно вычислить определенный интеграл

Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного та­ким образом числового ряда, имеем приближенное значение инте­грала. В работе погрешность приближения не должна превышать 0.0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

, при

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Задание 10

А) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).

Б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0,Т] (или [-Т/2,Т/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

Решение

а) Найдём функцию, по рисунку. Прямая проходит через 2 точки: И . Запишем уравнение искомой прямой: . Имеем:

Следовательно, исходный сигнал описывается следующей формулой:

Спектральную плотность S(u) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:

Первый интеграл берем по частям: U=t dU=dt dV=e-jutdt V=-(e-jut)/(ju),

Б) Продолжим функцию нечётным образом, тогда

Ряд Фурье имеет вид:

Графики частичных сумм:

 
Яндекс.Метрика
Наверх