Частные производные, экстремумы функций

1)  Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные)

Решение

Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:

.

Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:

.

2)  Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом

Решение

Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим

;

,

,

; .

Подставляя в формулу , найдем

.

Ответ:

3)  Исследовать на максимум и минимум следующую функцию ,

Решение

Найдем частные производные и :

,

.

Решим систему уравнений Которая в данном случае примет вид:

Решения и не удовлетворяют условию

Получили точку возможного экстремума:

Определим частные производные второго порядка:

, , .

Найдем значение в точке :

, , .

Тогда . и функция в точке имеет экстремум.

Так как , то в точке функция имеет минимум и .

Ответ: т. - точка минимума,

4)  Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области ,

Решение

Функция непрерывна в замкнутом квадрате . Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего, значений функции.

Найдём все решения системы уравнений:

Имеем

Все решения находятся в области

Найдём значения функции в найдённых стационарных точках:

На границе области

А) . Отсюда

Б) . Отсюда ,

С) . Отсюда

D) . Отсюда ,

Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область .

Выберем наибольшее и наименьшее значения:

, 

5)  Найти условные экстремумы функции при

Решение

Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет единственное решение

Далее

Найдём дифференциал второго порядка в точке :

Тогда

Из уравнения ограничения

При поэтому функция в точке имеет условный минимум,

Ответ: в точке имеет условный минимум,