Частные производные, экстремумы функций |
1) Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные) Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:
Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:
2) Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом Полагая, что
Подставляя в формулу
Ответ: 3) Исследовать на максимум и минимум следующую функцию Решение Найдем частные производные
Решим систему уравнений Решения Получили точку возможного экстремума: Определим частные производные второго порядка:
Найдем значение
Тогда Так как Ответ: т. 4) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области Решение Функция Найдём все решения системы уравнений: Имеем Все решения находятся в области Найдём значения функции На границе области А) Б) С) D) Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область Выберем наибольшее и наименьшее значения:
5) Найти условные экстремумы функции Решение Составим функцию Лагранжа Имеем Система имеет единственное решение Далее Найдём дифференциал второго порядка в точке Тогда Из уравнения ограничения При Ответ:
|