Частные производные, экстремумы функций
1) Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных (х, у – переменные) 
Найдем частную производную функции по переменной х, а переменную у в этом случае будем считать постоянной:
.
Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:
.
2) Вычислить приближённо, заменяя приращение функции дифференциалом 
Полагая, что есть частное значение функции 
в точке 
и что вспомогательная точка будет 
, получим
;
, 
, 
; 
.
Подставляя в формулу 
, найдем
.
Ответ: 
3) Исследовать на максимум и минимум следующую функцию 
, 
Решение
Найдем частные производные 
и 
:
,
.
Решим систему уравнений 
Которая в данном случае примет вид:
Решения 
и 
не удовлетворяют условию
Получили точку возможного экстремума: 
Определим частные производные второго порядка:
, 
, 
.
Найдем значение 
в точке :
, 
, 
.
Тогда 
. и функция в точке имеет экстремум.
Так как 
, то в точке функция имеет минимум и 
.
Ответ: т. - точка минимума, 
4) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области 
, 
Решение
Функция 
непрерывна в замкнутом квадрате . Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего, значений функции.
Найдём все решения системы уравнений:
Имеем 
Все решения находятся в области
Найдём значения функции в найдённых стационарных точках:
На границе области
А) 
. Отсюда 
Б) 
. Отсюда 
, 
С) 
. Отсюда
D) 
. Отсюда 
, 
Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область .
Выберем наибольшее и наименьшее значения:
, 
5) Найти условные экстремумы функции 
при 
Решение
Составим функцию Лагранжа 
Имеем
Система имеет единственное решение
Далее 
Найдём дифференциал второго порядка в точке 
:
Тогда 
Из уравнения ограничения 
При 
поэтому функция в точке имеет условный минимум, 
Ответ: в точке имеет условный минимум, 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|