Блочные матрицы и операции над ними. решение слау с помощью блочных матриц

Задание 1. Перемножить матрицы и , разбив их на блоки:

, .

Решение. Разобьём матрицы и на блоки следующим образом:

, , где , , а , .

Выполним умножение матриц и , представленных в блочном виде, по правилам умножения обычных матриц («строка на столбец»):

.

Пусть в результате умножения получена матрица . Тогда

,,, ,

Значит, .

Ответ: .

Задание 2. Квадратные матрицы и 4-го порядка разбить на 4 блока – квадратные матрицы 2-го порядка – и выполнить заданные действия:

, . Найти и .

Решение. Пусть в результате разбиения на блоки матрицы и примут вид:

, ,

Где и − квадратные матрицы второго порядка, причём

, , , , , , , .

Найдём . По правилам действий над матрицами имеем:

,

Но , ,

, , тогда

.

Пользуясь правилом умножения матриц, найдём :

Обозначим результат умножения матрицей , тогда

,

,

,

.

Таким образом, .

Ответ: ; .

Задание 3. Решая СЛАУ с помощью блочных матриц, найти .

Решение. Представим заданную систему в матричном виде . Так как достаточно найти , то разобьём матрицу системы на блоки следующим образом: , т. е. , , , . Тогда столбец правых частей , т. е. , , а столбец неизвестных , т. е. , .

В этих обозначениях система примет вид: Переходя от этого матричного уравнения к поэлементному равенству, получим:

Умножая левую и правую части второго уравнения системы слева на , получим , откуда . Подставим в первое уравнение системы выражение для :

или

.

Зная , из последнего равенства найдём .

Так как , то

,

Тогда и , т. е. , значит, .

Ответ: .

Задание 4. В пространстве задан произвольный базис , . Построить ОНБ. Координаты базисных векторов заданы в ОНБ .

Решение. Построение ОНБ начнём с построения ортогонального базиса .

Пусть , , где − некоторая константа. Для нахождения умножим равенство, определяющее , скалярно на : . Так как , то , т. е. .

Тогда . Таким образом, и образуют ортогональный базис пространства .

ОНБ получим нормировкой ортогонального базиса:

, .

Ответ: , .

Задание 5. В пространстве задан произвольный базис , , . Построить ОНБ. Координаты базисных векторов заданы в ОНБ .

Решение. Построение ОНБ начнём с построения ортогонального базиса {,,}.

Пусть , , . Умножая равенство, определяющее , скалярно на , найдём константу :

,

Тогда

Аналогично, умножая равенство, определяющее , скалярно на , найдём , а умножая на , найдём :

, ,

Тогда .

ОНБ получим, нормируя построенный ортогональный базис:

, , .

Ответ:, , .

Задание 6. В пространстве заданы два базиса: , , и , , . Найти матрицу перехода от базиса к базису . Координаты базисных векторов заданы в ОНБ .

Решение. Рассмотрим матрицы и , в столбцах которых находятся координаты заданных базисных векторов:

, .

Если – матрица перехода от базиса к базису , то , откуда . Так как , то

.

Окончательно,

.

Ответ: .

Задание 7. В базисе пространства задан вектор , – матрица перехода от базиса к базису . Найти разложение в базисе .

Решение. Если , , то , а , где – матрица перехода от базиса к базису .

По условию , , . Так как , то , т. е. , , а .

Ответ: .

Задание 8. В пространстве заданы два базиса: , и , . Известно, что . Найти разложение в базисе . Координаты базисных векторов заданы в ОНБ .

Решение. Если , , то , а , где – матрица перехода от базиса к базису .

По условию , . Матрицу найдём из равенства , т. е. , при этом , . Так как , то

.

Следовательно, , т. е. , .

Окончательно, .

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >