Билеты по математическому анализу (7 штук)

Решение

Найдём вероятность р4. Так как р1+р2+р3+р4=1, то р4=1-0,2-0,4-0,1=0,3

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание

M[X] = -1*0,2+0,7*0,4+1,5*0,1+4*0,3=-0,2+0,28+0,15+1,2=1,43

Тогда, используя свойства математического ожидания:

M[Z]= M[2x2-x]= 2M[X] M[X] - M[X] =2*1.43*1.43-1.43=2.6598

Ответ: M[Z]=2.6598

Решение

Ширина интервала составит:
$h = {x_{max} - x_{min}}/{n}$ ,

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал.

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Значения эмпирической функции распределения в граничных точках интервалов представлены в таблице

Решение

Обозначим X - число отличников среди отобранных студентов. Данная случайная величина может принимать следующие значения:

{X=0} – не одного отличника среди отобранных студентов нет
{X=1} - среди отобранных студентов 1 отличник
{X=2} - среди отобранных студентов 2 отличника
{X=3} - среди отобранных студентов 3 отличника

Найдём соответствующие вероятности:

Количество способов отобрать 3х человек из 15 n=

Закон распределения данной случайной величины имеет вид

Решение

Выборочная средняя равна

Полигоном относительных частот называется ломаная с вершинами в точках

(xi; Wi). Тогда получим полигон относительных частот:

Решение

Найдём вероятность р4 случайной величины Х.

Так как р1+р2+р3+р4=1, то р4=1-0,2-0,4-0,1=0,3

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание

M[X] = -2*0,2+0,5*0,4+1*0,1+3*0,3=-0,4+0,2+0,1+0,9=0,8

Найдём вероятность р3 случайной величины У.

Так как р1+р2+р3 =1, то р3=1-0,3-0,2=0,5

Математическое ожидание случайной величины У находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание

M[У] = -3*0,3+2*0,2+4*0,5=-0,9+0,4+2=1,5

Тогда, используя свойства математического ожидания:

M[Z]= M[3x2+у]= 3M[X] M[X] + M[У] =3*0,8*0,8+1.5=3,42

Ответ: M[Z]=3,42

Решение

Ширина интервала составит:
$h = {x_{max} - x_{min}}/{n}$ ,

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал.

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Решение

Вероятность попадания при одном выстреле Q=0,8, вероятность промаха тогда P=1–Q=0,2, вероятность события А – из n=9 выстрелов будет k=2 промаха по формуле Бернулли РNk= CNkPKQN–k равна

Р(А) = Р92= C92·0,22·0,87 =36*0,04*0.2097152=0.301989888

Ответ: Р(А)=0.301989888

Решение

Выборочная средняя равна

Выборочная дисперсия равна

Решение

Обозначим событие А - взят белый шар
Гипотеза Н1 - "вынутый шар сначала лежал в 1-й урне"
Гипотеза Н2 - "вынутый шар сначала лежал во 2-й урне"

Р(Н1)=0,5, Р(Н2)=0,5

Р(А/Н1) = 7/9 (вероятность того, что шар белый при условии что он из первой урны)
Р(А/Н2) = 4/18 (вероятность того, что шар белый при условии что он из второй урны)

Ответ:

Решение

Вычислим объем выборки: n=3+4+2+10+3=22

Наименьшая варианта равна: x1=2, поэтому F*(x)=0 при x≤2

Значения X<7, а именно: x1=2, наблюдались 3 раз, следовательно, F*(x)=3/22=0.1 при 2< x≤7

Значения X<12, а именно: x1=2, x2=7, наблюдались 7 раз, следовательно, F*(x)=7/22=0.3 при 7< x≤12

Значения X<17, а именно: x1=2, x2=7, x3=12, наблюдались 9 раз, следовательно, F*(x)=9/22=0.4 при 12< x≤17

Значения X<22, а именно: x1=2, x2=7, x3=12, x4=17, наблюдались 19 раз, следовательно, F*(x)=19/22=0.9 при 17< x≤22

Т. к. X=22 — наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>22

Решение

Вероятность наугад взять одно нестандартное изделие Р=0,1, вероятность наугад взять одно стандартное изделие Q=1–Р=0,9, вероятность события А – из n=5 изделий взять k=2 нестандартных по формуле Бернулли РNk= CNkPKQN–k равна

Р(А) = Р52= C52·0,12·0,93 =30*0,01*0,729=0,2187

Ответ: Р(А)=0,2187