logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Аналитическая геометрия, матрицы, комплексные числа, график функции, отделение корней уравнения

Решение:

Векторы образуют базис, если .

Итак, данные векторы образуют базис.

Решение:

1) Длина ребра А1А2.

Длина отрезка с концами и определяется по формуле:

.

Тогда найдем длину отрезка А1А2:

.

2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.

Найдем координаты векторов А1А2 и А1А4:

,

.

Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем из формулы для определения скалярного произведения двух векторов:

.

.

3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Поскольку угол между прямой и плоскостью (обозначим его через ) есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость, мы можем рассмотреть угол, дополняющий угол между прямой и ее проекцией на плоскость до . Это угол между нормалью к плоскости грани А1А2А3 И А1А4. В качестве нормали возьмем векторное произведение векторов A1A2 и  A1A3:

A1A2=(-2;5;5); A1A3=(5-7;9-2;1-2)=(-2;7;-1).

.

.

4) Площадь грани А1А2А3.

SА1А2А3  есть площадь треугольника А1А2А3 и половина площади параллелограмма, построенного на А1А2 и А1А3, которая равна длине вектора , вычисленного выше.

.

5) Объем пирамиды.

Чтобы найти объем пирамиды, можно воспользоваться выражением через объем призмы, который равен смешанному произведению векторов, на которых, как на ребрах построена призма.

;

6) Уравнение прямой А1А2.

Направляющим вектором данной прямой является вектор , в качестве точки, через которую эта прямая проходит, возьмем точку А1.

Запишем уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (то есть имеющей данный направляющий вектор):

.

7) Уравнение плоскости А1А2А3.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

,

Где  – вектор нормали к этой плоскости.

Вектор нормали к грани А1А2А3 был найден в п. 3: . Свободный член уравнения плоскости найдем из условия принадлежности ей точки А1.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

,

,

Тогда имеем следующее уравнение

или .

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Прямая проходит через точку А4 (2;3;7). Направляющим вектором данной прямой является вектор нормали грани А1А2А3, найденный в п. 3 или п.7. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором):

.

Решение:

Сделаем чертеж:

Для высоты уравнение стороны, ей перпендикулярной будет иметь вид: , а с учетом того, что эта прямая проходит через точку А, получим: и уравнение стороны .

Для высоты уравнение стороны, ей перпендикулярной будет иметь вид: , а с учетом того, что эта прямая проходит через точку А, получим: и уравнение стороны .

Решение

Пусть точка М(х, у) лежит на искомой кривой. Расстояние от нее до оси ординат: у.

Уравнение окружности:

.

Тогда расстояние от М до окружности:

.

Искомая кривая определяется уравнением:

Это парабола

Решение

Если , то .

По условию

.

Тогда

Решение:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Данное уравнение не решается.

Решение

Выпишем матрицу квадратичной формы:

Собственные числа:

.

Собственные векторы:

Матрица перехода:

Тогда сделаем замену:

Подставим в уравнение кривой и преобразовывая его, получим:

Получили уравнение гиперболы.

Решение

1) ;

2)

Решение

Построить график функции

Решение

1)  Найдем область определения функции:.

2)  Функция не является ни четной, ни нечетной функцией:

3)  Находим точки пересечения графика функции с осями координат: у(0)=2.

4)  Точки разрыва: нет.

5)  Асимптоты:

.

Итак, у=0 – горизонтальная асимптота при .

6)  Интервалы монотонности функции и экстремумы.

Находим критические точки функции:

.

Функция всюду убывает

7)  Интервалы вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.

Функция всюду в области определения вогнута

Строим график:

Решение

Уравнение касательной:

Уравнение нормальной плоскости:

Кривизна:

Решение

Найдем промежутки монотонности функции:

.

Тогда данная функция возрастает всюду на числовой прямой, следовательно, уравнение будет иметь единственный корень.

.

Тогда корень уравнения лежит на отрезке .

.

Итак, на указанном отрезке выполняется неравенство . Формулы будут иметь вид:

Итак, в качестве корня берем середину интервала .

 
Яндекс.Метрика
Наверх