Глава 60. Общая схема исследования функций и построение их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить соответственно уравнения и .

4. Найти вертикальные асимптоты.

5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

6. Найти критические точки.

7. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

8. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

9. Построить график функции.

Заметим, что исследование функции удобно проводить одновременно с заполнением таблицы, в которой отражены все характерные особенности.

Пример

Построить график функции .

Решение

1. Областью определения функции является вся числовая прямая.

2. , т. е. функция четная.

3. Из уравнения следует, что , т. е. график функции пересекается с осями координат в точке .

4. Вертикальных асимптот нет, поскольку нет точек разрыва функции.

5. Наклонные и горизонтальные асимптоты находим с помощью известных формул и применением правила Лопиталя:

.

Значит – горизонтальная асимптота. Других асимптот нет.

6. Найдем критические точки (точки возможного экстремума и точки возможного перегиба). Для этого приравняем к нулю первую и вторую производные: или , откуда получаем и – точки возможного экстремума. Далее , откуда . Следовательно, критические точки даются решениями биквадратного уравнения : . – точки возможного перегиба.

7. Поскольку рассматриваемая функция четна, рассмотрим ее график на положительной полуплоскости, а потом отразим его симметрично на отрицательную. Для облегчения построения графика, поместим результаты исследования вопросов монотонности, экстремума, выпуклости, точек перегиба в следующую таблицу:

«–»

0

«+»

“+”

0

“–”

“+”

È

0

“+”

Ç

0

“–”

È

* 

Убыв.

Возр.

Перегиб 

Возр.

Убыв.

Перегиб 

Убыв.

Поскольку область определения функции – вся числовая прямая, то минимум и максимум этой функции совпадают с ее локальными экстремумами.

Учитывая проведенное исследование функции, ее неотрицательность, а также ее четность, построим график (рис. 5.11.1).

Рис. 5.11.1

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!