Глава 42. Сходящиеся последовательности. Понятие предела. сходящейся последовательности

Определение

Число A называется Пределом последовательности , если для любого положительного числа E существует такой номер N, что при всех N>N выполняется неравенство

(4.2.1)

Последовательность, имеющая предел, называется Сходящейся. Если предел последовательности равен числу A, это записывается так: , или При .

Последовательность, не имеющая предела, называется Расходящейся.

Замечание 1

Пусть последовательность имеет своим пределом число А. Тогда последовательность есть бесконечно малая, так как для любого существует такой номер N, что при выполняется неравенство . Следовательно, любой элемент сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде:

,

(4.2.2)

Где – элемент бесконечно малой последовательности .

Определение

Интервал называют E–окрестностью точки А.

Определение

Последовательность называется Сходящейся, если существует такое число A, что в любой его E–окрестности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от E.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность определяет собой бесконечное множество чисел, то, если она сходится, в любой –окрестности остается конечное число элементов. Поэтому предел последовательности часто называют точкой сгущения.

Замечание 2

Бесконечно большая последовательность не имеет предела. В этом случае говорят, что она имеет Бесконечный предел:

Замечание 3

Очевидно, что всякая бесконечно малая последовательность Сходится и имеет своим пределом число A=0.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Покажем, используя определение предела последовательности, что .

Возьмем любое число . Так как , то для удовлетворения неравенству (9.1.1) достаточно решить неравенство , откуда получаем , неравенство будет выполняться при всех N>N, где .

Последовательность или –1, 1, –1, 1, … не имеет предела. Действительно, какое Бы число мы ни предложили в качестве предела, 1 или –1, при неравенство (4.2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетворяется: вне – окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов : все элементы с нечетными номерами равны –1, элементы с четными номерами равны 1.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема

Если все элементы бесконечно малой последовательности Равны одному и тому же числу С, то .

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только Один предел.

Теорема

Сходящаяся последовательность Ограничена.

Замечание

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Так, последовательность , рассмотренная в Примере 2, ограничена, но не имеет предела.

Теорема

Сумма (Разность) сходящихся последовательностей и есть Сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и .

Теорема

Произведение сходящихся последовательностей и есть Сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Теорема

Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от нуля, есть Сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

< Предыдущая		Следующая >