Глава 40. Элементарные функции. Классификация функций

Говорят, что функция задана Явно, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция .

Напротив, функция задана Неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция, заданная уравнением , задана неявно. (Заметим, что последнее уравнение задает две функции, При , и при Y<0).

Обратная функция.

Пусть есть функция независимой переменной , определенной на промежутке с областью значений . Поставим в соответствие каждому Единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на промежутке с областью значений , называется Обратной функцией и обозначается или .

Например. Для функции обратной будет функция .

Можно доказать, что Для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция.

Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , А переменная в свою очередь является функцией от переменной , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция называется Сложной функцией.

Определение

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются Элементарными.

Например, функция

Является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (, , , ) конечно. Примерами неэлементарных функций являются функции , – целая часть числа X.

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Определение

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится Конечное число алгебраических действий.

К числу алгебраических функций относятся:

- Целая рациональная функция (Многочлен или Полином):;

- Дробно–рациональная функция – отношение двух многочленов;

- Иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется Трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Преобразование графиков.

Пусть задан график функции . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. График функции есть график , сдвинутый (при A>0 влево, при A<0 вправо) на |A| единиц параллельно оси 0X.

2. График функции есть график , сдвинутый (при B>0 вверх, при B<0 вниз) на |B| единиц параллельно оси 0Y.

3. График функции (M0) есть график , растянутый (при M>1) в M раз или сжатый (при 0<M<1) вдоль оси 0Y. При график функции есть зеркальное отображение графика от оси 0X.

4. График функции (K) есть график , сжатый (при K>1) в K раз или растянутый (при 0<K<1) вдоль оси 0X. При график функции есть зеркальное отображение графика от оси 0Y.

< Предыдущая		Следующая >