Глава 38. Понятие множества

Понятие Множества является одним из основных в математике. Система, семейство, совокупность – эти термины можно считать синонимами слова «множество».

Определение

Множество – можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

Например, множество зрителей в данном кинотеатре, множество студентов, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 млн. грн. и т. д. Множество может содержать Конечное или Бесконечное число объектов.

Определение

Объекты, составляющие множество, называются его Элементами, или Точками Множества.

Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы – малыми буквами. Элемент из множества соответствует записи . Если же элемент не принадлежит множеству , то это соответствует записи .

Пусть и – два множества. Тогда между ними можно определить следующие соотношения.

1. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они Совпадают, что соответствует записи .

2. Если все элементы множества содержатся в множестве , то говорят, что является Подмножеством (или ).

3. Если ни один элемент множества не содержатся в множестве , то, значит, и само множество Не содержится в (или ).

В математике используется понятие Пустого множества, обозначаемого символом Æ. Это множество не содержит ни одного элемента и, поэтому, оно является подмножеством любого множества.

Введем понятие Суммы множеств и их Пересечения.

Определение

Суммой, или Объединением, множеств X и Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Обозначается объединение – XÈY.

Например, пусть X – множество государственных предприятий с годовым оборотом не ниже S денежных единиц, а Y – множество негосударственных предприятий с тем же нижним порогом годового оборота. Тогда XÈY будет множество всех предприятий с указанным нижним ограничением S.

Определение

Пересечением множеств X и Y (или их общей частью) называется совокупность одинаковых элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Обозначается пересечение – XÇY.

Отсутствие элементов со свойствами множеств X и Y одновременно означает, что пересечение этих множеств – представляет собой пустое множество Æ.

Определение

Разностью множеств X и Y называется множество Z, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y; эта разность обозначается – Z = X \ Y.

При записи математических выражений целесообразно употреблять математическую символику. Вместо выражения «Любое X из множества X» употребляют запись , где перевернутая латинская буква " (квантор общности) взята от начала английского слова Any (любой). Аналогично, вместо выражения «Существует элемент из множества » кратко записывают , где перевернутая латинская буква $ (квантор существования) является начальной буквой английского слова Existence – существование.

Пример

Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств.

Решение

Очевидно, что объединение двух данных множеств , их пересечение – , а разность .

Определение

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми множествами.

Из школьного курса алгебры известны множества – действительных чисел, – рациональных чисел, – иррациональных чисел, – целых чисел, – натуральных чисел.

Множество вещественных чисел является Бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Определение

Рациональным называется число вида , где и – целые числа.

Всякое рациональное число является либо целым числом, либо представляет собой бесконечную десятичную периодическую дробь.

Определение

Иррациональное число представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Например, рациональное число можно представить в виде 0,1111111… , а иррациональное число .

< Предыдущая		Следующая >