Глава 30. Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости
Определение
Уравнением поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение, вообще говоря, с тремя неизвестными
|
F(X,Y,Z) = 0, |
(2.16.1) |
Которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
В аналитической геометрии поверхности рассматривают как Геометрическое место точек пространства, обладающих определенным свойством.
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно X, Y и Z, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Определение
Общим уравнением плоскости называется уравнение
|
Ax + By + Cz + D = 0. |
(2.16.2) |
Всякий не равный нулю вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее Нормальным вектором (рис. 2.16.1).
Рис. 2.16.1
Определение
Уравнение
|
A×(X – X0) + B×(Y – Y0) + C×(Z – Z0) = 0 |
(2.16.3) |
Определяет Плоскость, проходящую через точку M0(X0,Y0,Z0) и имеющую нормальный вектор 
. При этом
|
D = – (Ax0 + By0 + Cz0) |
(2.16.4) |
Уравнения (2.16.2) и (2.16.3) в векторной форме имеют вид:
|
N×(R – r0) = 0, |
(2.16.4a) |
|
N×R + D = 0, |
(2.16.4b) |
Где R0 и R – радиус–векторы точек M0 и M, D = –N×r0.
Пример
Плоскость, проходящая через точку (2;1;–1) и перпендикулярная к вектору
{–2;4;3}, представляется уравнением –2(x–2) + 4(y–1) +3(z+1) = 0, или –2x +4y +3z + 3 = 0.
Частные случаи расположения плоскости
Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением:
1) A=0; параллельна оси Ox (By + Cz + D = 0);
2) B=0; параллельна оси Oy (Ax + Cz + D = 0;
3) C=0; параллельна оси Oz (Ax + By + D = 0;
4) D=0; проходит через начало координат (Ax + By + Cz = 0);
5) A=B=0; перпендикулярна оси Oz, т. е. параллельна плоскости XOY (Cz + D = 0);
6) A=C=0; перпендикулярна оси Oy, т. е. параллельна плоскости XOZ (By + D = 0);
7) B=C=0; перпендикулярна оси Ox, т. е. параллельна плоскости YOZ (Ax + D = 0);
8) A=D=0; проходит через ось Ox (By + Cz = 0);
9) B=D=0; проходит через ось Oy (Ax + Cz = 0);
10) C=D=0; проходит через ось Oz (Ax + By = 0);
11) A=B=D=0; совпадает с плоскостью XOY (z = 0);
12) A=C=D=0; совпадает с плоскостью XOZ (y = 0);
13) B=C=D=0; совпадает с плоскостью YOZ (x = 0).
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
