Глава 14. Евклидово пространство

Выше мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем Метрику, т. е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие Скалярного произведения.

Определение

Скалярным произведением двух векторов X= и Y=Называется число

(1.16.1)

Скалярное произведение имеет Следующие свойства:

1. – коммутативное свойство.

2. – дистрибутивное свойство.

3. –для любого действительного числа α.

4. , если X ненулевой вектор, , если X нулевой вектор.

Определение

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется Евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора X в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(1.16.2)

Имеют следующие свойства длины вектора:

1. тогда и только тогда, когда .

2. , где λ – действительное число.

3. – неравенство Коши–Буняковского.

4. – неравенство треугольника.

Угол φ между двумя векторами X и У определяется равенством

(1.16.3)

Где .

Определение

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен .

Векторы E1 , e2 , … , en n–мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т. е. (Ei ,ej) = 0 при и при .